[论文解读] Asymptotically isometric metrics on relatively hyperbolic groups and marked length spectrum

Koji Fujiwara|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文证明了在环状相对双曲群上，弱渐近等距且粗度量的度量是粗等距的，推广了此前对双曲群的结果。关键贡献在于证明：若两种此类度量具有相同的标记长度谱，则其万有覆叠通过 $ G $-等变映射是 $(1,C)$-准等距的，从而推进了具有相对双曲基本群的黎曼流形的标记长度谱问题。

ABSTRACT

We prove asymptotically isometric, coarsely geodesic metrics on a toral relatively hyperbolic group are coarsely equal. The theorem applies to all lattices in SO(n,1). This partly verifies a conjecture by Margulis. In the case of hyperbolic groups/spaces, our result generalizes a theorem by Furman and a theorem by Krat. We discuss an application to the isospectral problem for the length spectrum of Riemannian manifolds. The positive answer to this problem has been known for several cases. All of them have hyperbolic fundamental groups. We do not solve the isospectral problem in the original sense, but prove the universal covers are (1,C)-quasi-isometric if the fundamental group is a toral relatively hyperbolic group.

研究动机与目标

• 建立弱渐近等距度量在相对双曲群上粗等距的条件。
• 将 Furman 和 Krat 在双曲群上的结果推广到更广泛的环状相对双曲群类。
• 通过证明当基本群为环状相对双曲群时，万有覆叠上同谱度量是 $(1,C)$-准等距的，来解决黎曼流形的标记长度谱问题。
• 为理解具有相同标记长度谱的度量何时诱导准等距的万有覆叠提供一个框架，将已知结果扩展至非双曲基本群。

提出的方法

• 使用弱渐近等距的概念，即对所有双曲元素，群作用下平移长度的极限相等。
• 应用粗度量的概念，其中路径在统一加法误差范围内近似测地线。
• 当基本群为环状相对双曲群且度量具有相同标记长度谱时，构造两个流形万有覆叠之间的 $ G $-等变 $(1,C)$-准等距映射。
• 利用万有覆叠上的 $ G $-作用，将轨道点上的准等距扩展至整个空间，确保有界畸变。
• 通过覆盖映射和 $ G $-等变性使用提升论证，比较万有覆叠中的距离。
• 依赖环状相对双曲群的结构性质，包括在边界子群中存在有限指数的 $ \mathbb{Z}^{n_i} $ 子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相对双曲群上，弱渐近等距度量在何种条件下是粗等距的？
• RQ2 对于基本群为环状相对双曲群的流形，标记长度谱是否决定其万有覆叠的准等距类型？
• RQ3 Furman 和 Krat 在双曲群上的结果能否推广到环状相对双曲群这一更大的类？
• RQ4 在非双曲基本群的情形下，标记长度谱问题是否能在准等距万有覆叠的意义下求解？
• RQ5 在相对双曲群作用于粗度量空间的背景下，弱渐近等距与粗等距之间有何关系？

主要发现

• 在环状相对双曲群上，弱渐近等距且粗度量的度量是粗等距的。
• 该结果将 Furman 和 Krat 的定理从双曲群推广到了相对双曲群。
• 对于基本群同构且具有相同标记长度谱的闭黎曼流形，其万有覆叠通过 $ G $-等变映射是 $(1,C)$-准等距的。
• 证明通过轨道提升和有界畸变，从一个流形的万有覆叠构造出到另一个流形的 $ G $-等变 $(1,C)$-准等距映射。
• 该结果适用于 $ SO(n,1) $ 的所有格、具有孤立平坦子的 CAT(0) 群，以及具有双曲 JSJ 部分的某些 3-流形的基本群。
• 该框架表明，对于此类群，标记长度谱问题可归约为万有覆叠中的准等距问题，即使无法实现等距。