[论文解读] Asymptotically normal distribution of some tree families relevant for phylogenetics, and of partitions without singletons

Éva Czabarka, Péter L. Erdős+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文使用哈珀方法与埃拉多什–塞凯莱对应关系，建立了无单元素类的系统发育树计数与集合划分的渐近正态性。研究证明，当 $ m $ 增大时，具有固定叶数但内部节点数可变的系统发育树数量（或等价地，将 $ n+m $ 个元素划分为 $ m $ 个大小至少为 2 的类的集合划分）的分布收敛于正态分布，且对均值与方差给出了精确的渐近展开式，误差项为 $ O(1/n) $。

ABSTRACT

P.L. Erdos and L.A. Szekely [Adv. Appl. Math. 10(1989), 488-496] gave a bijection between rooted semilabeled trees and set partitions. L.H. Harper's results [Ann. Math. Stat. 38(1967), 410-414] on the asymptotic normality of the Stirling numbers of the second kind translates into asymptotic normality of rooted semilabeled trees with given number of vertices, when the number of internal vertices varies. The Erdos-Szekely bijection specializes to a bijection between phylogenetic trees and set partitions with classes of size \geq 2. We consider modified Stirling numbers of the second kind that enumerate partitions of a fixed set into a given number of classes of size \geq 2, and obtain their asymptotic normality as the number of classes varies. The Erdos- Szekely bijection translates this result into the asymptotic normality of the number of phylogenetic trees with given number of vertices, when the number of leaves varies. We also obtain asymptotic normality of the number of phylogenetic trees with given number of leaves and varying number of internal vertices, which make more sense to students of phylogeny. By the Erdos-Szekely bijection this means the asymptotic normality of the number of partitions of n + m elements into m classes of size \geq 2, when n is fixed and m varies. The proofs are adaptations of the techniques of L.H. Harper [ibid.]. We provide asymptotics for the relevant expectations and variances with error term O(1/n).

研究动机与目标

• 建立具有固定标记叶数但内部节点数可变的系统发育树数量的渐近正态性。
• 分析无单元素类的集合划分分布，特别是从 $ n+m $ 个元素中划分为 $ m $ 个大小至少为 2 的类的情况。
• 为这些分布的均值与方差推导出精确的渐近表达式，误差项为 $ O(1/n) $。
• 将哈珀方法用于第二类斯特林数的框架，推广至计数无单元素类划分的修正斯特林数。
• 为系统发育学家提供在进化树分析中对大规模组合计数进行准确近似的支持。

提出的方法

• 利用埃拉多什–塞凯莱对应关系，将根半标记树与集合划分之间的双射关系，将关于划分的结果转化为关于系统发育树的结果。
• 应用哈珀方法证明组合数组的渐近正态性，重点在于生成函数与多项式根的分析。
• 使用双变量指数生成函数，特别是 $ H(x,z) $，以建模 $ T_{n,k} $ 的分布，即具有 $ n $ 个标记叶与 $ k $ 个内部节点的系统发育树的数量。
• 推导出 $ H(x,z) $ 的函数方程：$ H(x,z) = z + x(e^{H(x,z)} - 1 - H(x,z)) $，该式源自指数公式。
• 通过在主导奇点 $ \rho = -1 + 2\ln 2 $ 附近对 $ H(1,z) $ 进行奇异展开，提取出具有 $ n $ 个叶的系统发育树总数 $ t_n $ 的渐近展开式。
• 将 $ t_n $ 的渐近展开式与 $ T_{n,k} $ 的递推关系相结合，计算 $ T_{n+1,.} $ 的期望与方差，误差界为 $ O(1/n) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ k $ 变化时，具有 $ n $ 个标记叶与 $ k $ 个内部节点的系统发育树数量是否服从正态分布？
• RQ2 当 $ m $ 变化时，计数将 $ n+m $ 个元素划分为 $ m $ 个大小至少为 2 的类的修正第二类斯特林数是否渐近正态？
• RQ3 此类划分或系统发育树分布的均值与方差的精确渐近表达式是什么？
• RQ4 哈珀方法用于第二类斯特林数的框架能否被适配，以证明无单元素类划分的渐近正态性？
• RQ5 这些分布的期望与方差的渐近近似值有多准确，特别是当误差项为 $ O(1/n) $ 时？

主要发现

• 当 $ n $ 增大时，具有 $ n $ 个标记叶且内部节点数可变的系统发育树数量的分布渐近正态。
• 当 $ m $ 变化且 $ n $ 固定时，将 $ n+m $ 个元素划分为 $ m $ 个大小至少为 2 的类的集合划分数量渐近正态。
• 具有 $ n $ 个叶的系统发育树总数的渐近展开式为 $ t_n \sim \frac{n!}{\sqrt{\pi}\rho^{n-1/2}}\left(\frac{1}{2n^{3/2}} + \frac{3}{16n^{5/2}} + \frac{25}{256n^{7/2}} + O(n^{-9/2})\right) $，其中 $ \rho = -1 + 2\ln 2 $。
• 期望 $ T_{n+1,.} $（即具有 $ n+1 $ 个叶且内部节点数可变的系统发育树数量）的渐近表达式为 $ \frac{t_{n+2}}{2t_{n+1}} - \frac{n+1}{2} $，误差项为 $ O(1/n) $。
• 方差 $ T_{n+1,.} $ 的渐近表达式为 $ \frac{t_{n+3}}{4t_{n+1}} - \frac{t_{n+2}^2}{4t_{n+1}^2} - \frac{t_{n+2}}{2t_{n+1}} - \frac{n+1}{4} $，同样具有 $ O(1/n) $ 误差。
• 多项式 $ P_n(x) = \sum_k T_{n+1,k} x^k $ 有 $ n $ 个不同的实根：一个在零处，其余 $ n-1 $ 个位于 $ (-1,0) $ 内，该结论通过归纳法与罗尔定理得证。