[论文解读] Asymptotically Optimal Lower Bounds on the NIH-Multi-Party Information

André Gronemeier|ArXiv.org|Feb 10, 2009

Cryptography and Data Security参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通过信息论方法，建立了在唯一交集承诺下，k方集合不相交问题的随机化ε-误差通信复杂度的渐近最优Ω(n/k)下界。关键贡献在于对k元与非函数的信息复杂度给出了紧致下界，解决了此前在单向与通用协议中下界存在的差距，证明了ICε(ANDk; Z|D) ≥ c(ε)/k，其中c(ε) > 0为常数。

ABSTRACT

Here we prove an asymptotically optimal lower bound on the information complexity of the k-party disjointness function with the unique intersection promise, an important special case of the well known disjointness problem, and the ANDk-function in the number in the hand model. Our (n/k) bound for disjointness improves on an earlier (n/(k log k)) bound by Chakrabarti et al. (2003), who obtained an asymptotically tight lower bound for one-way protocols, but failed to do so for the general case. Our result eliminates both the gap between the upper and the lower bound for unrestricted protocols and the gap between the lower bounds for one-way protocols and unrestricted protocols.

研究动机与目标

• 填补已知的k方不相交问题通信复杂度上界与下界之间的差距，该问题具有唯一交集承诺。
• 解决不相交函数在单向协议下界与通用协议下界之间的差异。
• 在特定输入分布下，建立k元与非函数信息复杂度的紧致、渐近最优下界。
• 为使用信息论方法在多玩家环境中获得更紧致的通信复杂度界限提供基础。

提出的方法

• 采用信息论框架，分析在联合输入分布下k元与非函数的信息复杂度，其中一名玩家拥有随机位，其余玩家拥有0。
• 应用条件互信息，将关于某玩家输入的传输摘要的信息内容与其余玩家输入联系起来。
• 利用对称性论证，将唯一交集分布下与非函数的信息复杂度等同于标准均匀输入模型下的信息复杂度。
• 利用平凡确定性协议实现I(T : Xi | X−i = 0) = 1/k的事实，以证明下界的最优性。
• 通过不相交问题与与非函数之间的关系，从信息复杂度界限推导出主要的通信复杂度结果。
• 应用已知的从不相交问题到与非函数的归约，将信息复杂度下界转移至通信复杂度设置中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在唯一交集承诺下，k方不相交问题的随机化通信复杂度的渐近最优下界是什么？
• RQ2 在单向协议之外，是否可以填补通用多玩家协议的上界与下界之间的差距？
• RQ3 在指定输入分布下，k元与非函数的精确信息复杂度是多少？
• RQ4 与非函数的信息复杂度下界是否意味着不相交问题的紧致通信复杂度界限？

主要发现

• 本文建立了在唯一交集承诺下，k方不相交问题的随机化ε-误差通信复杂度下界为Ω(n/k)。
• 该下界渐近最优，与Chakrabarti等人（2003年）已知的上界一致。
• 在指定输入分布下，k元与非函数的信息复杂度下界为c(ε)/k，其中c(ε) > 0为仅依赖于ε的常数。
• 该下界是紧致的，因为平凡确定性协议恰好实现1/k的信息成本，从而确认了其最优性。
• 该结果填补了不相交函数在单向与通用协议下界之间的差距。
• 信息论方法成功解决了长期存在的基本多玩家问题通信复杂度界限中的空白。