[论文解读] Asymptotically Optimal Monte Carlo Sparse Multivariate Polynomial Interpolation Algorithms of Straight-Line Program

Qiao-Long Huang, Xiao-Shan Gao|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 15被引用 2

一句话总结

本论文提出了针对以直线程序编码的稀疏多变量多项式，其渐近最优的蒙特卡洛与确定性插值算法。蒙特卡洛算法在有限域上的位复杂度在 nT 上线性、在 log D 上立方，忽略对数因子时，插值效率与读取输入相当，且可实现多个多变量多项式乘法的渐近最优算法。

ABSTRACT

In this paper, we propose new deterministic interpolation algorithms and Monte Carlo interpolation algorithms for sparse multivariate polynomials represented by straight-line programs. Let f be an n-variate polynomial with a degree bound D and and term bound T. Our deterministic algorithms have better complexities than existing deterministic interpolation algorithms in most cases. Our Monte Carlo interpolation algorithms are asymptotically optimal in the sense that their bit complexities are linear in nT and cubic in log D, when the coefficients of the polynomials are from a finite field. Since f has size nT, our algorithm implies that interpolating a straight-line program polynomial f is as easy as reading f, if the log D factor in the complexities is not considered. Based on the Monte Carlo interpolation algorithm, we give an asymptotically optimal algorithm for the multiplication of several multivariate polynomials, whose complexity is softly linear in the input size plus the output size, if the logarithm factors are ignored.

研究动机与目标

• 开发针对以直线程序表示的稀疏多变量多项式的插值算法，使其比现有确定性方法更高效。
• 在有限域上实现蒙特卡洛插值的位复杂度渐近最优，尤其在 nT 和 log D 的依赖关系上。
• 利用插值算法设计多个多变量多项式乘法的渐近最优算法。
• 证明插值复杂度在忽略对数因子时，几乎等同于读取输入的复杂度。

提出的方法

• 设计使用随机采样和在随机点求值的蒙特卡洛插值算法，以从直线程序重构稀疏多变量多项式。
• 在有限域上运用代数技术，以高概率保证正确性并最小化位复杂度。
• 分析位复杂度与 n（变量数）、T（项数上界）和 D（次数上界）的关系，表明其在 nT 上线性、在 log D 上立方。
• 将插值算法作为子程序，构建多个多变量多项式乘法的高效算法。
• 证明乘法算法的复杂度在忽略对数因子时，对输入与输出大小之和呈软线性。
• 通过证明插值复杂度在对数因子内达到信息论下界，建立其渐近最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于直线程序编码的稀疏多变量多项式，其蒙特卡洛插值算法能否在位复杂度上实现渐近最优？
• RQ2 插值的位复杂度如何随 n、T 和 D 变化，特别是在有限域上？
• RQ3 当忽略对数因子时，插值效率在多大程度上可与读取输入相当？
• RQ4 能否从插值算法导出多个多变量多项式乘法的渐近最优算法？
• RQ5 直线程序的大小与多项式重构复杂度之间存在何种关系？

主要发现

• 所提出的蒙特卡洛插值算法在有限域上实现位复杂度在 nT 上线性、在 log D 上立方，因此渐近最优。
• 插值算法的位复杂度近乎最优，因其在对数因子内与输入多项式大小（nT）一致。
• 当忽略 D 的对数依赖时，插值过程的效率与读取输入多项式相当。
• 已导出多个多变量多项式乘法的渐近最优算法，其复杂度在忽略对数因子时对输入与输出大小之和呈软线性。
• 确定性算法在大多数情况下优于现有确定性方法，尤其在位复杂度方面。
• 结果表明，在给定复杂度模型下，直线程序编码多项式的插值复杂度并不显著高于输入访问成本。