[论文解读] Asymptotics and Hamiltonians in a First order formalism

Abhay Ashtekar, Jonathan Engle+1 more|MPG.PuRe (Max Planck Society)|Feb 18, 2008

Quantum chaos and dynamical systems被引用 12

一句话总结

该论文为渐近平直四维时空中的广义相对论提出了一种一阶作用量原理，消除了对无穷大反项的依赖。通过使用正交 tetrad 和洛伦兹联络，该理论构建了一个定义良好的协变相空间，其中哈密顿量生成渐近的庞加莱对称性，从而得到有限的能动量和角动量，解决了长期以来关于对数平移和超平移的难题。

ABSTRACT

We consider 4-dimensional space-times which are asymptotically flat at spatial infinity and show that, in the first order framework, action principle for general relativity is well-defined \emph{without the need of infinite counter terms.} It naturally leads to a covariant phase space in which the Hamiltonians generating asymptotic symmetries provide the total energy-momentum and angular momentum of the space-time. We address the subtle but important problems that arise because of logarithmic translations and super-translations both in the Langrangian and Hamiltonian frameworks. As a forthcoming paper will show, the treatment of higher dimensions is considerably simpler. Our first order framework also suggests a new direction for generalizing the spectral action of non-commutative geometry.

研究动机与目标

• 为渐近平直时空中的广义相对论构造一个无需无穷大反项的明确定义的作用量原理。
• 解决在拉格朗日和哈密顿框架下由对数平移和超平移引起的渐近对称性中的细微问题。
• 利用由渐近庞加莱变换生成的哈密顿量，推导出有限且协变的能动量和角动量表达式。
• 提供一个自洽的拉格朗日和哈密顿描述，避免基于爱因斯坦-希尔伯特作用量加边界项的先前方法的局限性。
• 为通过采用独立 tetrad 和自连结的首阶形式，推广非交换几何中的谱作用量奠定基础。

提出的方法

• 使用正交 tetrad $e^a_\mu$ 和洛伦兹联络 $A^{ab}_\mu$ 构造一阶作用量，得到一个显式有限的作用量，无需边界反项。
• 施加边界条件，将渐近对称性群缩减为庞加莱群，确保守恒量的明确定义。
• 使用协变相空间形式化，从一阶作用量推导出生成渐近庞加莱变换的哈密顿量。
• 通过强化边界条件，分析对数平移和超平移的作用，确保哈密顿框架中的一致性。
• 在空间无穷远处构造曲面积分，得到与物质贡献无关的有限能动量和角动量表达式。
• 将框架扩展至包含标准物质场（标量场、麦克斯韦场、杨-米尔斯场），而无需改变表面项结构，因为物质不显式贡献于哈密顿量被积函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论中的一阶形式能否在渐近平直时空中消除对无穷大反项的需求？
• RQ2 对数平移和超平移如何影响拉格朗日和哈密顿框架中渐近对称性和守恒量的定义？
• RQ3 能否在不依赖边界项或嵌入闵可夫斯基空间的前提下，推导出有限且协变的能动量和角动量表达式？
• RQ4 在四维空间中，需要何种边界条件才能将渐近对称性群缩减为庞加莱群？
• RQ5 广义相对论中的一阶形式能否作为推广非交换几何中谱作用量的基础？

主要发现

• 基于 tetrad 和洛伦兹联络的一阶作用量在渐近平直时空下也是有限且明确定义的，无需任何无穷大反项。
• 由此作用量构建的协变相空间允许推导出生成渐近庞加莱变换的哈密顿量，从而得到有限的能动量和角动量。
• 通过适当地强化边界条件，消除了对数平移和超平移带来的模糊性，确保了哈密顿框架中的一致性。
• 所得的能动量和角动量表达式在具有精确对称性的情况下，与 Spi 框架及其他方法推导的结果一致。
• 引入标准物质场不会改变哈密顿量表面积分的结构，因为物质贡献仅通过约束方程进入。
• 一阶框架提示了非交换几何中谱作用量的自然推广，其中 tetrad 和自连结在运动方程之前被视为独立变量。