[论文解读] Asymptotics and Optimal Bandwidth Selection for Nonparametric Estimation of Density Level Sets

Wanli Qiao|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2017

Statistical Methods and Inference被引用 15

一句话总结

本文通过引入一种基于对称差的L2型风险来近似L1风险，提出了一种用于d维空间中密度水平集非参数估计的最优带宽选择规则。通过使用Hausdorff测度推导边界积分的收敛速率，实现了水平集估计精度的渐近最优带宽选择。

ABSTRACT

Bandwidth selection is crucial in the kernel estimation of density level sets. Risk based on the symmetric difference between the estimated and true level sets is usually used to measure their proximity. In this paper we provide an asymptotic $L_1$ approximation to this risk, propose a corresponding $L_2$ type of risk, and use the new risk to develop an optimal bandwidth selection rule for nonparametric level set estimation of $d$-dimensional density functions ($d\geq 1$). As an important ingredient of the selection rule, integrations over the boundary of the level sets with respect to the Hausdorff measure are studied and the convergence rate of their estimation is derived.

研究动机与目标

• 为基于核的非参数密度水平集估计中的带宽选择这一关键挑战提供解决方案。
• 通过最小化估计水平集与真实水平集之间的对称差风险，提升水平集估计的准确性。
• 为d维密度函数（d ≥ 1）开发一个理论基础坚实、渐近最优的带宽选择规则。
• 分析基于Hausdorff测度的水平集边界积分的收敛速率，这是风险近似中的关键组成部分。

提出的方法

• 推导水平集估计中使用的对称差风险的渐近L1近似。
• 引入一种新的L2型风险作为原始风险的替代，以实现更易处理的优化。
• 针对Hausdorff测度分析水平集边界的积分，这对带宽选择至关重要。
• 建立这些边界积分的非参数估计量的收敛速率。
• 利用推导出的风险和收敛速率，构建最优带宽选择规则。
• 将该方法应用于d维密度函数，将结果推广至单变量情况之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 在L1范数下，估计密度水平集与真实水平集之间的对称差风险如何实现渐近近似？
• RQ2 对于非参数密度水平集估计，能够最小化该风险的最优带宽选择规则是什么？
• RQ3 通过Hausdorff测度测量的水平集边界上的积分如何影响带宽选择？
• RQ4 这些边界积分的非参数估计量的收敛速率是什么？
• RQ5 能否构造一种新的L2型风险，使其能导出可处理且最优的带宽规则？

主要发现

• 本文建立了对称差风险的渐近L1近似，使水平集估计误差的理论分析成为可能。
• 提出了一种新的L2型风险，作为原始风险的实用且可分析的替代方案，促进了最优带宽的选择。
• 推导出通过Hausdorff测度测量的水平集边界积分的非参数估计量的收敛速率，提供了关键的理论基础。
• 证明了最优带宽选择规则对d维密度函数（d ≥ 1）具有渐近有效性。
• 该方法为带宽选择提供了一个有原则的框架，显著提升了非参数水平集估计的准确性。