[论文解读] Asymptotics and statistical inferences on independent and non-identically distributed bivariate Gaussian triangular arrays

Xin Liao, Zuoxiang Peng|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文建立了当相关系数随索引 $i/n$ 平滑变化时，独立但非同分布的二元高斯三角阵列极值的首阶与二阶渐近展开。推导出依赖于连续正函数 $m(x)$ 的极限分布，在正则条件下提供二阶展开，并通过最大似然估计对 $m(x)$ 进行参数推断，从而实现对 Hüsler-Reiss 型依赖结构的统计检验。

ABSTRACT

In this paper, we establish the first and the second-order asymptotics of distributions of normalized maxima of independent and non-identically distributed bivariate Gaussian triangular arrays, where each vector of the $n$th row follows from a bivariate Gaussian distribution with correlation coefficient being a monotone continuous function of $i/n$. Furthermore, parametric inference for this unknown function is studied. Some simulation study and real data sets analysis are also presented.

研究动机与目标

• 推导非同分布且依赖的二元高斯三角阵列极值的归一化极值的极限分布。
• 在相关函数 $m(i/n)$ 的正则条件下，建立第二阶分布展开。
• 发展对控制相关结构的未知函数 $m(x)$ 的参数统计推断。
• 通过最大似然估计及估计量的渐近性质，检验 Hüsler-Reiss 条件。

提出的方法

• 将相关系数建模为 $\rho_{ni} = 1 - m(i/n)/\log n$，其中 $m(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的连续正函数。
• 在三种情形下推导归一化极值 $\mathbf{M}_n = (M_{n1}, M_{n2})$ 的首阶极限分布：$\max m(i/n) \to 0$，$\min m(i/n) \to \infty$，以及 $m(x)$ 连续。
• 通过分析 $\max_{1\leq i\leq n} m(i/n)$ 的收敛速度，并在首阶极限附近进行泰勒展开，建立第二阶展开。
• 应用 Cramér 的方法与多变量中心极限定理，推导 $m(x) = \alpha + \beta x^\gamma$ 模型中参数 MLE 的估计方程的渐近正态性。
• 以 Hüsler-Reiss 极稳分布为基准，通过 $i/n$ 的函数依赖关系将该分布推广至非平稳、非同分布情形。
• 运用极值理论与相关系数变化的二元高斯向量的矩近似，推导联合收敛速度与渐近分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 当相关系数随索引 $i/n$ 平滑变化时，归一化二元极值的极限分布是什么？
• RQ2 在 $m(x)$ 的正则条件下，第二阶渐近展开如何改进首阶极限？
• RQ3 能否对控制相关结构的未知函数 $m(x)$ 进行一致的参数推断？
• RQ4 模型 $m(x) = \alpha + \beta x^\gamma$ 中参数的极大似然估计量的渐近分布是什么？
• RQ5 如何利用所提出的统计推断框架检验 Hüsler-Reiss 条件？

主要发现

• 在 $\rho_{ni} = 1 - m(i/n)/\log n$ 条件下，$\mathbf{M}_n$ 的极限分布为 $H(x,y) = \exp\left(-e^{-y}\int_0^1 \Phi\left(\sqrt{m(t)} + \frac{x-y}{2\sqrt{m(t)}}\right)dt - e^{-x}\int_0^1 \Phi\left(\sqrt{m(t)} + \frac{y-x}{2\sqrt{m(t)}}\right)dt\right)$。
• 当 $\max m(i/n) \to 0$ 时，极限分布退化为 $\Lambda(\min(x,y))$，表明尾部存在渐近依赖。
• 当 $\min m(i/n) \to \infty$ 时，分量渐近独立，极限分布为 $\Lambda(x)\Lambda(y)$。
• 在 $m(x)$ 的正则条件下，推导出联合分布的第二阶展开，收敛速度取决于 $\max_{1\leq i\leq n} m(i/n)$ 的行为。
• 对于 $m(x) = \alpha + \beta x^\gamma$ 的最大似然估计量是渐近正态的，满足 $\frac{1}{\sqrt{n}}(l_{n1}, l_{n2}, l_{n3})^T \overset{d}{\to} N(0, \Sigma)$，其中 $\Sigma$ 是依赖于 $\alpha$、$\beta$ 和 $\gamma$ 的矩阵。
• MLE 的渐近方差由涉及 $t^\gamma$ 和 $\log t$ 的积分表征，从而支持对 $m(x)$ 功能形式的推断。