[论文解读] Asymptotics for sums of random variables with local subexponential behaviour

Søren Asmussen, Sergey Foss+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2013

Probability and Risk Models参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文引入并分析了$Δ$-次指数分布的概念——通过聚焦于有限区间$(x, x+T]$上的局部尾部行为（其中$T < ∞$），对经典的次指数分布进行推广。研究证明，卷积$F^{*n}(x+Δ)$的渐近行为与经典次指数理论一致，即若$F^{*2}(x+Δ) ∼ 2F(x+Δ)$，则有$F^{*n}(x+Δ) ∼ nF(x+Δ)$，并将其应用于随机游走、更新理论和分支过程。

ABSTRACT

We study distributions $F$ on $[0,\infty)$ such that for some $T\le\infty$, $F^{*2}(x,x+T]\sim 2 F(x,x+T]$. The case $T=\infty$ corresponds to $F$ being subexponential, and our analysis shows that the properties for $T

研究动机与目标

• 建立当关注有限区间$(x, x+T]$上的局部尾部概率（其中$T < \infty$）时，独立同分布随机变量和的渐近行为的系统理论，扩展经典次指数理论。
• 刻画$[0, \infty)$上分布$F$的特征，使得$F^{*2}(x+\Delta) \sim 2F(x+\Delta)$对$\Delta = (0,T]$成立，从而定义新的分布类$\mathcal{S}_\Delta$。
• 在$\Delta$-次指数条件下，建立关键结果的类比，如关键更新定理及随机游走上确界渐近性质。
• 将理论推广至具有次指数密度的分布，并应用于复合泊松过程、无穷可分分布及贝尔曼-哈里斯分支过程。

提出的方法

• 通过条件$F^{*2}(x+\Delta) \sim 2F(x+\Delta)$（其中$\Delta = (0,T]$且$T < \infty$）定义$\Delta$-次指数分布，并要求$F(x+\Delta)$为长尾分布。
• 证明若$F, G \in \mathcal{L}_\Delta$，则$F*G \in \mathcal{L}_\Delta$，且$(F*G)(x+\Delta) \gtrsim F(x+\Delta) + G(x+\Delta)$，从而确立卷积下的稳定性。
• 通过将卷积分解为主体部分与尾部部分（其中$h(x) \to \infty$），控制中等偏差的贡献，并证明渐近等价性。
• 通过分析卷积$(K*U)(x+\Delta)$应用关键更新定理，证明在$z \in \mathcal{L}$且$K \in \mathcal{S}_\Delta$条件下，有$\int_0^x z(x-y)U(dy) \sim I \cdot (K*U)(x+\Delta)$。
• 通过生成函数与$p_n = \mu^n e^{-\mu}/n!$，证明复合泊松测度$G$满足$G(x+\Delta) \sim \mu F(x+\Delta)$当且仅当$F \in \mathcal{S}_\Delta$。
• 证明对于无穷可分分布，若$G \in \mathcal{S}_\Delta$（其中$G$为归一化的Lévy测度，$\nu$为Lévy测度），则$F(x+\Delta) \sim \nu(x+\Delta)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当尾部行为研究集中于有限区间$\Delta = (0,T]$而非完整尾部$(x,\infty)$时，卷积$F^{*n}(x+\Delta)$的渐近性质如何表现？
• RQ2 在何种条件下可保证$F^{*2}(x+\Delta) \sim 2F(x+\Delta)$？该条件如何推广经典次指数性质？
• RQ3 关键更新定理能否推广至局部渐近情形？对更新测度与尾部分布需满足何种条件？
• RQ4 $\Delta$-次指数分布如何影响负漂移随机游走的上确界渐近行为？
• RQ5 无穷可分分布的局部尾部行为与其Lévy测度之间存在何种关系？该关系如何推广已知结果？

主要发现

• 若$F \in \mathcal{S}_\Delta$，则当$x \to \infty$时，有$F^{*n}(x+\Delta) \sim nF(x+\Delta)$，将经典次指数卷积性质推广至局部区间。
• 对于跳跃分布为$F$的复合泊松过程，当且仅当$F \in \mathcal{S}_\Delta$时，有$G(x+\Delta) \sim \mu F(x+\Delta)$，其中$G$为复合泊松分布。
• 在关键更新定理中，若$z \in \mathcal{L}$且$K \in \mathcal{S}_\Delta$，则有$\int_0^x z(x-y)U(dy) \sim \frac{1}{1-\theta} z(x)$，其中$\theta = \int_0^1 K(x+\Delta)dx$。
• 对于无穷可分分布，当且仅当归一化的Lévy测度$G \in \mathcal{S}_\Delta$时，有$F(x+\Delta) \sim \nu(x+\Delta)$（$x \to \infty$），推广了经典尾部等价性结果。
• 对于次临界的贝尔曼-哈里斯分支过程，若$F \in \mathcal{S}_\Delta$，则当$t \to \infty$时，有$A(t) - A(t+T) \sim F(t+\Delta)/(1-A)$，其中$A(t) = \mathbb{E}Z(t)$。
• 当$T < \infty$时，类$\mathcal{S}_\Delta$包含所有标准次指数分布（如正则变体、形状参数$\alpha < 1$的Weibull分布），且理论与经典情形基本一致，仅需最小修改。