[论文解读] Asymptotics for the Discrete-Time Average of the Geometric Brownian Motion and Asian Options

Dan Pirjol, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 3

一句话总结

本文在固定波动率和无风险利率参数的条件下，推导了布莱克-斯科尔斯模型下几何布朗运动离散时间平均的渐近分布，聚焦于大n极限情形。研究建立了中心极限定理、Berry-Esseen界、大偏差结果以及矩生成函数的渐近性质，从而实现了对具有固定与浮动行权价的离散平均亚式期权的精确定价。

ABSTRACT

The time average of geometric Brownian motion plays a crucial role in the pricing of Asian options in mathematical finance. In this paper we consider the asymptotics of the discrete-time average of a geometric Brownian motion sampled on uniformly spaced times in the limit of a very large number of averaging time steps. We derive almost sure limit, fluctuations, large deviations, and also the asymptotics of the moment generating function of the average. Based on these results, we derive the asymptotics for the price of Asian options with discrete-time averaging in the Black-Scholes model, with both fixed and floating strike.

研究动机与目标

• 分析当采样点数n趋于无穷时，几何布朗运动离散时间平均的渐近行为。
• 推导平均资产价格的几乎必然极限、波动性、大偏差以及矩生成函数的渐近性质。
• 将上述结果应用于获得具有固定与浮动行权价的离散平均亚式期权价格的精确渐近公式。
• 建立离散时间平均在时间步长趋于零时收敛于连续时间平均的结论。
• 使用概率与分析方法，为期权价格提供严格的n大时渐近展开，涵盖平值与虚值情形。

提出的方法

• 在固定 $ \rho = (r-q)\tau n $ 和 $ \beta = \frac{1}{2}\sigma^2 \tau n^2 $ 的条件下，推导离散时间平均 $ A_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n S_{t_i} $ 当 $ n \to \infty $ 时的几乎必然极限。
• 应用中心极限定理与非均匀Berry-Esseen界，刻画 $ \sqrt{n}(\kappa S_{t_n} - A_n) $ 的波动缩放行为，并给出显式方差表达式。
• 利用大偏差理论，推导虚值期权价格的指数衰减速率，其中速率函数为 $ \mathcal{H}(0) $。
• 推导 $ A_n $ 的矩生成函数渐近性质，该性质为大偏差与中心极限定理结果提供了基础。
• 依赖于表示式 $ S_t = S_0 e^{\sigma Z_t + (r-q - \frac{1}{2}\sigma^2)t} $，其中 $ Z_t $ 为标准布朗运动。
• 通过当 $ \tau \to 0 $ 时的分布收敛性，将离散时间结果与连续时间平均相联系，其中 $ \tau = t_n / n $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当平均点数趋于无穷时，几何布朗运动离散时间平均的几乎必然极限是什么？
• RQ2 离散平均的波动性在渐近下如何表现？归一化偏差的极限方差是什么？
• RQ3 在大n极限下，虚值亚式期权价格的大偏差渐近性质是什么？
• RQ4 平值亚式期权的隐含波动率如何随平均点数变化？
• RQ5 在布莱克-斯科尔斯模型下，当n较大时，固定与浮动行权价亚式期权价格的精确渐近行为是什么？

主要发现

• 当 $ \rho \neq 0 $ 时，离散时间平均 $ A_n $ 几乎必然收敛于 $ \frac{r-q}{r-q-\sigma^2/2} S_0 e^{\rho} $，当 $ \rho = 0 $ 时收敛于 $ S_0 $，在固定 $ \beta $ 与 $ \rho $ 条件下成立。
• 归一化偏差 $ \sqrt{n}(\kappa S_{t_n} - A_n) $ 在分布上收敛于均值为零、方差为 $ \frac{2\beta}{\rho^2} \left[1 - \frac{2}{\rho}(e^\rho - 1) + \frac{e^{2\rho} - 1}{2\rho} \right] $ 的正态随机变量，从而为平均值提供了中心极限定理。
• 对于虚值看跌期权，其价格以 $ P(n) = e^{-n\mathcal{H}(0) + o(n)} $ 的形式指数衰减，其中 $ \mathcal{H}(0) $ 由大偏差的速率函数决定。
• 平值亚式期权价格的尺度为 $ C(n) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}} S_0 e^{-\frac{r\rho}{r-q}} \sqrt{\beta v(\rho)} \frac{1}{\sqrt{n}} $，表明其呈现反平方根衰减。
• 平值亚式期权的隐含波动率满足 $ \lim_{n\to\infty} \frac{\Sigma_{\rm LN}(A_\infty,n)}{\sigma} = \frac{S_0}{A_\infty} \sqrt{v(\rho)} $，其中 $ v(\rho) $ 是 $ \rho $ 的已知函数。
• 对于固定行权价期权，看涨期权价格的渐近行为为 $ C(n) = \kappa S_0 e^{-\frac{r\rho}{r-q}} - S_0 e^{-\frac{r\rho}{r-q}} \frac{e^\rho - 1}{\rho} - \frac{e^{-\frac{r\rho}{r-q}} S_0 (e^\rho - 1)}{2n} + O(n^{-2}) $，并给出了显式的校正项。