[论文解读] Asymptotics for the normalized error of the Ninomiya-Victoir scheme

Gerbi, Anis Al, Benjamin Jourdain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文建立了布朗运动驱动的SDE中Ninomiya-Victoir格式归一化误差的渐近分布。它证明了$√{N}(X - X^{NV,\eta})$在分布上稳定收敛于一个由布朗向量场的李括号和一个独立布朗运动驱动的仿射SDE，从而确认了收敛率为$1/2$，除非向量场可交换，此时收敛率提升至$1$。该结果支持在该格式中使用多水平蒙特卡洛方法。

ABSTRACT

In a previous work, we proved strong convergence with order $1/2$ of the Ninomiya-Victoir scheme $X^{NV,η}$ with time step $T/N$ to the solution $X$ of the limiting SDE. In this paper we check that the normalized error defined by $\sqrt{N}\left(X - X^{NV,η} ight)$ converges to an affine SDE with source terms involving the Lie brackets between the Brownian vector fields. The limit does not depend on the Rademacher random variables $η$. This result can be seen as a first step to adapt to the Ninomiya-Victoir scheme the central limit theorem of Lindeberg Feller type, derived by M. Ben Alaya and A. Kebaier for the multilevel Monte Carlo estimator based on the Euler scheme. When the Brownian vector fields commute, the limit vanishes. This suggests that the rate of convergence is greater than $1/2$ in this case and we actually prove strong convergence with order $1$.

研究动机与目标

• 分析Ninomiya-Victoir格式归一化误差$\sqrt{N}(X - X^{NV,\eta})$的渐近行为。
• 在强收敛阶为$1/2$的背景下，建立归一化误差过程的极限分布。
• 确定当布朗向量场可交换时，收敛率是否可以提高。
• 为在Ninomiya-Victoir格式中应用多水平蒙特卡洛方法提供理论基础。
• 将类似林德伯格-弗勒利的欧拉格式中心极限定理型结果，推广至Ninomiya-Victoir格式。

提出的方法

• 使用由Rényi形式化并由Jacod和Protter扩展的分布上稳定收敛，分析归一化误差的极限行为。
• 将离散时间的Ninomiya-Victoir格式插值到连续时间，以推导渐近误差分布。
• 推导涉及布朗向量场之间李括号$[\sigma^j, \sigma^m]$和独立布朗运动$B^{j,m}$的极限SDE。
• 应用伊藤公式和伊藤-泰勒展开，控制格式与真实解之间的误差。
• 使用格朗沃尔不等式控制误差过程的矩，建立矩稳定性。
• 利用系数$b$和$\sigma^j$的利普希茨连续性和正则性假设，推导矩估计和收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$N \to \infty$时，归一化误差$\sqrt{N}(X - X^{NV,\eta})$是否在分布上收敛于非退化极限？
• RQ2 控制归一化误差渐近分布的极限SDE的显式形式是什么？
• RQ3 布朗向量场之间的李括号如何影响极限误差分布？
• RQ4 在何种条件下极限误差消失，这对收敛率意味着什么？
• RQ5 此前针对欧拉格式推导出的多水平蒙特卡洛估计器的中心极限定理，能否推广至Ninomiya-Victoir格式？

主要发现

• 归一化误差$\sqrt{N}(X - X^{NV,\eta})$在分布上稳定收敛于由布朗向量场的李括号和独立布朗运动驱动的仿射SDE的解。
• 极限分布不依赖于Rademacher随机变量$\eta$，表明该格式的渐近误差对符号序列的选择具有鲁棒性。
• 当布朗向量场可交换时，李括号项消失，极限误差过程为零，意味着收敛率更高。
• 本文证明在可交换情况下具有$1$阶强收敛，确认当所有$j,m$满足$[\sigma^j, \sigma^m] = 0$时，$1/2$的收敛率并非最优。
• 渐近分布由一个SDE表征，其漂移和扩散系数分别涉及$\partial b(X_s)$和$\partial\sigma^j(X_s)$，并包含来自李括号的源项。
• 结果确认了在一般非交换情况下，Ninomiya-Victoir格式的强收敛率为$1/2$，因为归一化误差在分布上不趋于零。