[论文解读] Asymptotics of Brownian motions on classical Lie groups, the master field on the plane, and the Makeenko-Migdal equations

Thierry Lévy|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Random Matrices and Applications被引用 1

一句话总结

本文建立了经典李群（正交群、酉群、辛群）上布朗运动的大N渐近行为，证明了非交换分布下的收敛性并给出了显式的误差界，同时构建了欧氏平面上具有经典结构群的杨-米尔斯测度的大N极限。本文严格推导了马凯科-米格达尔方程，并表明威尔逊环期望值以受环长度控制的速率确定性收敛。

ABSTRACT

We study the large N asymptotics of the Brownian motions on the orthogonal, unitary and symplectic groups, extend the convergence in non-commutative distribution originally obtained by Biane for the unitary Brownian motion to the orthogonal and symplectic cases, and derive explicit estimates for the speed of convergence in non-commutative distribution of arbitrary words in independent Brownian motions. Using these results, we construct and study the large N limit of the Yang-Mills measure on the Euclidean plane with orthogonal, unitary and symplectic structure groups. We prove that each Wilson loop converges in probability towards a deterministic limit, and that its expectation converges to the same limit at a speed which is controlled explicitly by the length of the loop. In the course of this study, we reprove and mildly generalise a result of Hambly and Lyons on the set of tree-like rectifiable paths. Finally, we establish rigorously, both for finite N and in the large N limit, the Schwinger-Dyson equations for the expectations of Wilson loops, which in this context are called the Makeenko-Migdal equations. We study how these equations allow one to compute recursively the expectation of a Wilson loop as a component of the solution of a differential system with respect to the areas of the faces delimited by the loop.

研究动机与目标

• 将比安尼对酉群上布朗运动收敛结果推广至正交群与辛群。
• 为独立布朗运动中词的非交换分布收敛速度提供显式估计。
• 构建并分析欧氏平面上具有经典结构群的杨-米尔斯测度的大N极限。
• 严格建立有限N与无限N极限下威尔逊环期望值的马凯科-米格达尔方程。
• 证明威尔逊环期望值以受环长度控制的速率收敛至确定性极限。

提出的方法

• 利用非交换概率工具分析正交群、酉群与辛群上布朗运动的大N渐近行为。
• 将非交换分布中的收敛性结果推广至正交群与辛群，推广了比安尼的结果。
• 对独立布朗运动中任意词的非交换分布收敛速度给出显式估计。
• 通过分析威尔逊环可观测量，构建了平面上杨-米尔斯测度的大N极限。
• 在大N极限背景下，重新证明并推广了汉布利与莱昂斯关于树状可求长路径的结果。
• 推导并分析了威尔逊环期望值的施温格-戴森方程（即马凯科-米格达尔方程），使得可通过关于环所围面积极值的微分系统实现递归计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 正交群、酉群与辛群上的布朗运动在大N极限下如何表现？
• RQ2 在经典李群上，独立布朗运动中词的非交换分布收敛速度如何？
• RQ3 欧氏平面上的杨-米尔斯测度是否对威尔逊环存在确定性大N极限？
• RQ4 马凯科-米格达尔方程能否在有限N与大N极限下严格推导？
• RQ5 威尔逊环期望值的收敛速率如何依赖于环的几何性质（如其长度）？

主要发现

• 本文建立了正交群与辛群上布朗运动在非交换分布下的收敛性，将比安尼从酉群情形得到的结果推广至其他情形。
• 为独立布朗运动中任意词的非交换分布收敛速度给出了显式估计。
• 在平面上杨-米尔斯测度的大N极限下，每个威尔逊环以概率收敛至确定性极限。
• 每个威尔逊环的期望值以显式受环长度控制的速率收敛至同一确定性极限。
• 施温格-戴森方程（即马凯科-米格达尔方程）在有限N与大N极限下均被严格推导。
• 威尔逊环的期望值可作为由环所围成的各面面积参数化的微分系统解的分量，通过递归方式计算。