[论文解读] Asymptotics of conductors of elliptic curves over Q

Sean Howe, Kirti Joshi|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文研究了有理数域 ℚ 上椭圆曲线导子的渐近分布，假设 Hardy-Littlewood 猜想，证明了存在无穷多个素数导子；并利用 Iwaniec 定理，无条件地证明了存在无穷多个几乎素数导子和半稳定导子。假设一个强 Cohen-Lenstra 启发性猜想，其将素数导子的上密度限制在约 0.686，表明大多数素数并非导子。

ABSTRACT

In this note we study numbers which occur as conductors of elliptic curves over Q. We show, by constructing families of elliptic curves with quadratic discriminant and invoking a theorem of Iwaniec, that this set contains infinitely many almost primes. We show, assuming a strong version of the Cohen-Lenstra heuristics, that the set of prime conductors has an explicitly bounded density in the set of primes. Studying the Cremona and Stein-Watkins databases of elliptic curves we conjecture that the set of conductors should be of density zero in the set of natural numbers and that the set of prime conductors should be of density zero in the set of prime numbers.

研究动机与目标

• 理解 ℚ 上椭圆曲线导子的渐近密度与分布。
• 确定导子集合在 ℕ 或素数集中的密度是否为正。
• 利用解析数论与启发性模型，研究素数导子与几乎素数导子的无穷性与密度。
• 基于 Cremona 与 Stein-Watkins 数据库的数据，推测导子在 ℕ 和 ℙ 中的密度为零。
• 探讨 2-挠率与类群统计在通过 Cohen-Lenstra 类型启发性模型约束导子存在性中的作用。

提出的方法

• 构造具有二次判别式的椭圆曲线族，以生成具有少量素因子的导子。
• 应用 Iwaniec 关于几乎素数的定理，无条件地确立几乎素数导子的无穷性。
• 利用 Setzer 对具有有理 2-挠率的椭圆曲线的分类，将导子存在性与特定形式的素数 p = u² + 64 联系起来。
• 将具有平凡 2-挠率的曲线的存在性转化为二次域 ℚ(√±p) 与 ℚ(√±2p) 的类数的 3-整除性条件。
• 对模 8 中特定同余类的素判别式二次域应用改进的 Cohen-Lenstra 启发性模型。
• 通过结合类群统计与启发性模型中的独立性假设，估计素数导子的上密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℚ 上椭圆曲线的导子集合在 ℕ 中是否具有正密度？
• RQ2 ℚ 上椭圆曲线是否存在无穷多个素数导子？
• RQ3 素数导子在所有素数中的上密度是多少？
• RQ4 二次域的类群统计如何与给定导子的椭圆曲线存在性相关联？
• RQ5 能否使用针对素判别式的改进 Cohen-Lenstra 启发性模型来建模导子的分布？

主要发现

• 假设 Hardy-Littlewood 猜想，ℚ 上椭圆曲线存在无穷多个素数导子。
• 无条件地，通过 Iwaniec 关于几乎素数的定理，存在无穷多个几乎素数导子和无穷多个半稳定导子。
• 在强 Cohen-Lenstra 类型猜想下，素数导子在所有素数中的上密度至多约为 0.686。
• 基于高达 10⁸ 的数据库数值证据与启发性推理，导子集合在 ℕ 中的密度为零。
• 在数据支持下并基于 Cohen-Lenstra 启发性猜想，素数导子集合在所有素数中的密度为零。
• 非导子的连续段长度无界，数据表明存在长度达 45 及以上的段，暗示可能存在任意长的间隙。