[论文解读] Asymptotics of fast rotating density-dependent incompressible fluids in two space dimensions

Francesco Fanelli, Isabelle Gallagher|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用 16

一句话总结

本文研究了二维快速旋转、变密度不可压缩流体的渐近行为，利用补偿紧致性方法处理真空及低正则性问题。对于密度扰动较小的情形，极限系统为带有密度涨落贡献项的齐次纳维-斯托克斯方程；对于一般非齐次流动，极限系统为线性系统，由涡度和密度振荡决定，由于正则性不足，动量方程的收敛性尚未建立。

ABSTRACT

In the present paper we study the fast rotation limit for viscous incompressible fluids with variable density, whose motion is influenced by the Coriolis force. We restrict our analysis to two dimensional flows. In the case when the initial density is a small perturbation of a constant state, we recover in the limit the convergence to the homogeneous incompressible Navier-Stokes equations (up to an additional term, due to density fluctuations). For general non-homogeneous fluids, the limit equations are instead linear, and the limit dynamics is described in terms of the vorticity and the density oscillation function: we lack enough regularity on the latter to prove convergence on the momentum equation itself. The proof of both results relies on a compensated compactness argument, which enables one to treat also the possible presence of vacuum.

研究动机与目标

• 分析二维空间中粘性、非齐次不可压缩流体在快速旋转极限下的行为。
• 理解科里奥利力占主导时的渐近动力学，特别是存在变密度及可能真空的情形。
• 在不同正则性与初始数据假设下，建立小罗斯比数（ε → 0）极限下速度场与密度场的收敛结果。
• 解决密度振荡函数正则性不足的问题，该问题导致在一般非齐次情形下动量方程无法收敛。

提出的方法

• 分析基于以罗斯比数 ε 为小参数的奇异摄动方法，用于建模快速旋转。
• 系统为二维非齐次不可压缩纳维-斯托克斯-科里奥利方程，科里奥利项与 1/ε 成正比。
• 采用补偿紧致性方法推导一致估计并取极限，即使在存在真空的情况下亦成立。
• 证明依赖于博尼的抛积分解与交换子估计，以在临界齐次贝索夫与索伯列夫空间中控制非线性项。
• 利用能量估计与插值不等式（加拉道-尼伦伯格不等式）控制速度与密度涨落的范数。
• 极限动力学通过涡度与密度振荡函数表征，由于正则性不足，一般情形下动量方程不收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始密度为常数状态的小扰动时，二维快速旋转、变密度不可压缩流体的极限系统为何？
• RQ2 对于一般非齐次初始数据，系统在 ε → 0 极限下如何表现，特别是当密度振荡函数正则性不足时？
• RQ3 在非齐次流体中，动量方程是否能在极限下恢复？抑或正则性不足导致收敛性无法实现？
• RQ4 补偿紧致性在处理此奇异摄动问题中的真空与低正则性解时发挥何种作用？
• RQ5 科里奥利力与不可压缩约束在渐近 regime 中如何相互作用，以产生准地转型动力学？

主要发现

• 对于初始密度在常数状态附近的小扰动，极限系统为带有密度涨落贡献项的齐次不可压缩纳维-斯托克斯方程。
• 在一般非齐次情形下，极限动力学由包含涡度与密度振荡函数的线性系统所支配。
• 由于极限中密度振荡函数正则性不足，动量方程的收敛性无法建立。
• 补偿紧致性论证允许在存在真空与低正则性的情况下实现一致估计与收敛。
• 该分析建立了临界索伯列夫与贝索夫空间中乘积的连续性性质，这对极限过程中非线性项的处理至关重要。
• 研究将先前关于常密度流体的工作拓展至变密度情形，尤其在海洋流动与大气动力学背景下具有重要意义。