[论文解读] Asymptotics of PDE in random environment by paracontrolled calculus

Tadahisa Funaki, Masato Hoshino+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用 5

一句话总结

本论文将拟微分控制微积分方法应用于一维随机环境中带有平滑噪声的拟线性随机偏微分方程，研究其渐近行为，证明其收敛于具有空间白噪声的极限SPDE。关键贡献在于：在无需重整化的情况下建立了极限方程的局部适定性，并证明了解的比较定理。

ABSTRACT

We apply the paracontrolled calculus to study the asymptotic behavior of a certain quasilinear PDE with smeared mild noise, which originally appears as the space-time scaling limit of a particle system in random environment on one dimensional discrete lattice. We establish the convergence result and show a local in time well-posedness of the limit stochastic PDE with spatial white noise. It turns out that our limit stochastic PDE does not require any renormalization. We also show a comparison theorem for the limit equation.

研究动机与目标

• 分析一维随机环境中带有温和噪声的零-range过程的流体动力学标度极限。
• 建立具有平滑噪声的拟线性PDE解收敛于具有空间白噪声的极限随机PDE的收敛性。
• 在无需重整化的情况下，证明极限SPDE在时间上的局部适定性。
• 在非线性项满足适当条件时，为极限方程建立比较定理。
• 将分析扩展至环面上具有修正周期边界条件的SPDE积分形式。

提出的方法

• 使用拟微分控制微积分方法处理具有空间白噪声的SPDE的奇异性质。
• 在积分形式下分析方程：$\partial_t u = a(\nabla u)\Delta u + g(\nabla u)\cdot\xi$，其中 $a = \varphi'$，$g = \chi$，且 $\xi$ 为空间-时间白噪声。
• 在一维环面 $\mathbb{T} = [0,1]$ 上工作，周期边界条件被修改为 $u(t,x+n) = u(t,x) + nm$ 以保持质量守恒。
• 应用分部积分和格林函数技术，将平滑噪声 $\psi^\varepsilon * \dot{w}$ 与布朗运动的梯度联系起来。
• 证明噪声项 $\nabla X^\varepsilon \cdot \xi^\varepsilon$ 在 $\varepsilon \downarrow 0$ 时收敛于 $-\frac{1}{2}\nabla(\int \psi^\varepsilon(x-y)w(y)dy)^2$。
• 使用先验估计和Schauder型论证控制正则性，并在局部时间范围内证明存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有平滑噪声的拟线性PDE的解是否收敛于具有空间白噪声的极限SPDE？
• RQ2 在一维情形下，极限SPDE是否无需重整化即可适定？
• RQ3 在何种条件下，极限SPDE的解满足比较原理？
• RQ4 噪声结构与非线性项如何影响解的正则性与长期行为？
• RQ5 SPDE的积分形式在简化原方程分析中起到什么作用？

主要发现

• 具有平滑噪声的拟线性PDE的解 $v^\varepsilon$ 收敛于具有空间白噪声 $\xi$ 的极限SPDE $\partial_t v = \Delta\{\varphi(v)\} + \nabla\{\chi(v)\xi\}$ 的解。
• 极限SPDE在时间上局部适定，且无需任何重整化，相较于其他奇异SPDE具有显著简化。
• 建立了比较定理：若 $v_1(0) \geq v_2(0)$，则对所有 $t \geq 0$ 有 $v_1(t) \geq v_2(t)$，前提是 $|\chi'(v)| \leq C\varphi'(v)$。
• 若 $\chi(0) = 0$，则初始数据 $v(0) \geq 0$ 的非负性对所有时间均保持不变。
• 噪声项 $\nabla X^\varepsilon \cdot \xi^\varepsilon$ 收敛于 $-\frac{1}{2}\nabla(\int \psi^\varepsilon(x-y)w(y)dy)^2$，且当 $\varepsilon \downarrow 0$ 时，该表达式在 $C^{\frac{1}{2}-\delta}$ 中收敛于 $\nabla w(x)^2$。
• 分析在环面上进行，采用修正的周期条件以保持质量守恒，且解 $u$ 满足 $u(t,x+n) = u(t,x) + nm$。