[论文解读] Asymptotics of Queue Length Distributions in Priority Retrial Queues

Joris Walraevens, Dieter Claeys+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文通过概率生成函数的奇点分析，推导了双类优先级重传M/G/1排队系统中轨道长度分布的渐近尾部行为。研究识别出两种不同 regimes——'优先级 regime'，其特征为指数衰减受幂律因子调制；以及'retrial regime'，其中重传速率改变了亚指数衰减，其渐近行为与非优先级重传队列相似。

ABSTRACT

We calculate asymptotics of the distribution of the number of customers in orbit in a two-class priority retrial $M/G/1$-type queueing model. In this model, priority customers wait in line while non-priority customers join an orbit and retry later. Although the generating function and moments of the number of customers in orbit has been analyzed before, asymptotics of the distribution have not been thoroughly investigated. We use singularity analysis of the probability generating function to do just that. Our results show that different regimes exist for these asymptotics in case of light-tailed service times: in what we call the `priority regime', the tail asymptotics have the same decay ($\sim cn^{-3/2}R^{-n}$) as in the priority non-retrial queue and the retrial rate only influences the constant $c$. In the `retrial regime', the retrial rate also influences the sub-exponential factor of the asymptotics. In this regime, asymptotics are very similar to asymptotics in retrial queues without (priority) waiting line. Finally, we also analyze the case that the service time distribution is power law (with or without exponential cut-off) using the same technique.

研究动机与目标

• 研究双类优先级重传M/G/1队列中轨道内客户数的渐近行为，该模型中优先级客户排队，非优先级客户在阻塞后重传。
• 将现有队列长度渐近行为研究从传统队列或单类重传系统扩展至更复杂的优先级重传设置。
• 确定重传速率与服务时间分布如何影响轨道长度分布的重尾或轻尾衰减。
• 在极端拥塞情况下，提供对系统性能的精细化理解，尤其在蜂窝网络和呼叫中心等应用中。

提出的方法

• 本研究采用轨道长度概率生成函数（PGF）的奇点分析方法，提取其渐近尾部行为。
• 将PGF分解为表示优先级队列与重传轨道的分量，分析其在z=1处主导奇点附近的奇点特性。
• 区分轻尾与幂律服务时间分布，相应地应用不同的渐近分析技术。
• 对于轻尾服务时间，该方法识别出两种 regime：'优先级 regime' 与 'retrial regime'，其区分依据为重传速率对亚指数衰减因子的影响。
• 对于幂律服务时间，采用光滑隐函数框架刻画PGF的渐近行为，并推导出幂律尾部衰减。
• 推导过程依赖隐函数定理，以及方程组G(r,s)=s与G_w(r,s)=1的解的存在性，以定位主导奇点R_h。

实验结果

研究问题

• RQ1 重传速率如何影响优先级重传队列中轨道长度分布的尾部衰减？
• RQ2 根据服务时间分布与重传机制，轨道长度分布是否存在不同的渐近行为 regime？
• RQ3 轨道长度的渐近行为与标准优先级队列及非重传重传队列相比如何？
• RQ4 幂律服务时间分布对轨道长度尾部行为有何影响？
• RQ5 PGF的奇点分析能否准确捕捉轨道长度分布中的亚指数衰减因子？

主要发现

• 在轻尾服务时间的'优先级 regime'中，轨道长度尾部衰减为∼cn⁻³/²R⁻ⁿ，其中重传速率仅影响常数c，而不影响衰减速率。
• 在'retrial regime'中，重传速率影响亚指数因子，导致渐近行为与非优先级重传队列相似。
• 对于具有指数α_B*的幂律服务时间，轨道长度分布衰减为∼n^(α_B*−1)，其指数由服务时间尾部与系统参数决定。
• 轨道长度分布q(n)的渐近行为由PGF的主导奇点R_h决定，R_h由方程组G(r,s)=s与G_w(r,s)=1的解确定。
• r(n)与p₂(n)的推导渐近行为相同，且按∼n^α_B*缩放，表明在幂律服务时间下，重传与优先级分量表现出相同的重尾行为。
• 分析证实，当服务时间分布为类型1时，光滑隐函数框架适用于生成函数h(z)，从而保证主导平方根奇点R_h的存在性。