[论文解读] Asymptotics of smoothed Wasserstein distances

Hongbin Chen, Jonathan Niles‐Weed|arXiv (Cornell University)|May 2, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 33被引用 4

一句话总结

该论文在热半群（高斯卷积）下，针对 $\mathbb{R}^d$ 上的平滑 Wasserstein 距离建立了精确的多项式收缩速率，表明当 $\mu$ 和 \nu 的前 $n$ 阶矩匹配但第 $(n+1)$ 阶矩不同时，$2$-Wasserstein 距离 $W_2^2(\mu*\rho_t, \nu*\rho_t)$ 以 $\Theta(t^{-n})$ 的速率衰减，且存在一个正的极限常数。该结果可推广至 $p$-Wasserstein 距离、$\chi^2$ 散度、相对熵和总变差距离，所有这些度量在矩匹配条件下均表现出相同的多项式衰减速率。

ABSTRACT

We investigate contraction of the Wasserstein distances on $\mathbb{R}^d$ under Gaussian smoothing. It is well known that the heat semigroup is exponentially contractive with respect to the Wasserstein distances on manifolds of positive curvature; however, on flat Euclidean space---where the heat semigroup corresponds to smoothing the measures by Gaussian convolution---the situation is more subtle. We prove precise asymptotics for the $2$-Wasserstein distance under the action of the Euclidean heat semigroup, and show that, in contrast to the positively curved case, the contraction rate is always polynomial, with exponent depending on the moment sequences of the measures. We establish similar results for the $p$-Wasserstein distances for $p eq 2$ as well as the $χ^2$ divergence, relative entropy, and total variation distance. Together, these results establish the central role of moment matching arguments in the analysis of measures smoothed by Gaussian convolution.

研究动机与目标

• 解决在平坦欧氏空间上，由于零曲率导致指数收缩失效时，高斯平滑下 Wasserstein 距离的渐近行为。
• 确定 $W_2(\mu*\rho_t, \nu*\rho_t) \to 0$ 在 $t \to \infty$ 时成立的条件及其衰减速率。
• 统一高斯平滑下多种差异度量（Wasserstein、$\chi^2$、相对熵、总变差）的渐近行为。
• 建立收缩速率是多项式而非指数的结论，并证明该速率完全由前 $n$ 阶矩匹配决定。
• 将分析从 $p=2$ 推广至一般 $p$-Wasserstein 距离，并推导出相应的渐近衰减速率。

提出的方法

• 利用 Hermite 多项式展开与正交分解分析平滑测度 $\mu*\rho_t$ 与 $\nu*\rho_t$ 之间的差异。
• 应用热半群作为与高斯核 $\rho_t(x) = (2\pi t)^{-d/2} e^{-|x|^2/(2t)}$ 的卷积。
• 通过密度差在阶数 $n+1$ 以内的泰勒展开推导渐近展开式，依赖于矩条件。
• 使用关于标准高斯测度 $\mathfrak{g}$ 的 $L^2(\mathfrak{g})$ 内积，将函数投影到 Hermite 函数上。
• 通过余项展开导数的估计，建立平滑密度差的统一利普希茨界。
• 通过矩匹配与正交性证明关键恒等式 $\int H_\alpha(\Theta_t - Q) d\mathfrak{g} = 0$ 对所有 $\alpha \in [n+1]$ 成立，从而导出渐近展开的主导项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$W_2(\mu*\rho_t, \nu*\rho_t)$ 在 $t \to \infty$ 时收敛于零？
• RQ2 当 $\mu$ 与 $\nu$ 的前 $n$ 阶矩匹配但第 $(n+1)$ 阶矩不同时，$W_2(\mu*\rho_t, \nu*\rho_t)$ 的精确衰减速率是什么？
• RQ3 其他差异度量（如 $\chi^2$ 散度、相对熵和总变差）是否以与 Wasserstein 距离相同的多项式速率衰减？
• RQ4 在相同矩匹配条件下，$p \neq 2$ 时的 $p$-Wasserstein 距离的渐近行为与 $p=2$ 情况相比如何？
• RQ5 在 $t^n W_2^2(\mu*\rho_t, \nu*\rho_t)$ 的渐近展开中，极限常数是否可显式表示为闭式？

主要发现

• 若 $\mu$ 与 $\nu$ 的前 $n$ 阶矩匹配但第 $(n+1)$ 阶矩不同，则当 $t \to \infty$ 时，$W_2^2(\mu*\rho_t, \nu*\rho_t) = \Theta(t^{-n})$。
• 归一化极限 $\lim_{t \to \infty} t^n W_2^2(\mu*\rho_t, \nu*\rho_t)$ 存在且为正的常数 $c_{\mu,\nu} > 0$，其显式依赖于 $\mu$ 与 $\nu$ 的第 $(n+1)$ 阶矩。
• 相同的极限常数 $c_{\mu,\nu}$ 控制 $\mu*\rho_t$ 与 $\nu*\rho_t$ 之间 $\chi^2$ 散度与相对熵的渐近行为，仅相差一个常数因子。
• 对于 $p \in [1, \infty)$ 的 $p$-Wasserstein 距离，衰减速率为 $\Theta(t^{-n/2})$，与 $p=2$ 情况一致，且满足 $\liminf_{t \to \infty} t^{n/2} W_p(\mu*\rho_t, \nu*\rho_t) > 0$ 与 $\limsup < \infty$。
• 总变差距离也以 $\Theta(t^{-n/2})$ 的速率衰减，但其极限常数与 Wasserstein 距离不同。
• 所有分析的差异度量（Wasserstein、$\chi^2$、相对熵、总变差）在相同矩匹配条件下均表现出相同的多项式衰减速率，揭示了其渐近行为的深刻统一性。