[论文解读] Asymptotics of the density of parabolic Anderson random fields

Yaozhong Hu, Khoa Lê|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 10

一句话总结

该论文利用马利avin微积分与小球概率估计，为带有乘性高斯噪声的抛物型安德森方程解的密度 $\rho(t,x;y)$ 建立了精确的上下界。在两种情形下推导了密度的渐近行为：当 $y \to \infty$（右尾）与当 $t \to 0^+$（左尾），表明其对数衰减速率在常数因子范围内一致，并由于间歇性导致非高斯的重尾行为。结果可推广至非负初值情形，从而在 $y \to 0^+$ 时给出了 $\rho(t,x;y)$ 的新颖上界。该方法依赖于一种新的噪声近似方案与马利avin微积分，通过小球概率控制马利avin协方差矩阵。

ABSTRACT

We investigate the sharp density $ρ(t,x; y)$ of the solution $u(t,x)$ to stochastic partial differential equation $\frac{\partial }{\partial t} u(t,x)=\frac12 Δu(t,x)+u\diamond \dot W(t,x)$, where $\dot W$ is a general Gaussian noise and $\diamond$ denotes the Wick product. We mainly concern with the asymptotic behavior of $ρ(t,x; y)$ when $y ightarrow \infty$ or when $t o0+$. Both upper and lower bounds are obtained and these two bounds match each other modulo some multiplicative constants. If the initial datum is positive, then $ρ(t,x;y)$ is supported on the positive half line $y\in [0, \infty)$ and in this case we show that $ρ(t,x; 0+)=0$ and obtain an upper bound for $ρ(t,x; y)$ when $y ightarrow 0+$.

研究动机与目标

• 建立随机热方程带乘性高斯噪声的解 $u(t,x)$ 的概率密度函数 $\rho(t,x;y)$ 的存在性与光滑性。
• 在渐近情形 $y \to \infty$ 与 $t \to 0^+$ 下，推导 $\rho(t,x;y)$ 的精确上下界，尤其关注初值非负的情形。
• 刻画密度在右尾与左尾的对数衰减速率，表明由于间歇性导致的非高斯重尾行为。
• 提出一种新颖的高斯噪声近似方案，使在一般噪声设定下能够控制小球概率与马利avin微积分估计。

提出的方法

• 作者利用马利avin微积分，通过证明马利avin协方差矩阵具有所有阶负矩，来证明密度的光滑性。
• 通过小球概率估计 $P(\|Du(t,x)\|_{\mathcal{H}} \leq a)$（当 $a \to 0^+$ 时）来控制马利avin矩阵，这是证明密度存在性的核心。
• 提出一种新的高斯噪声近似方案，取代标准离散逼近，以处理包括时空白噪声在内的广义协方差结构。
• 通过改进的Girsanov型公式推导密度界，得到涉及马利avin导数与正随机变量 $A(t,x)$ 的表达式。
• 对密度表达式应用Hölder不等式，将 $\rho(t,x;y)$ 与尾概率 $P(u(t,x) \geq y)$ 及期望 $\mathbb{E}[A(t,x)]$ 关联起来。
• 通过结合 $\|Du(t,x)\|_{\mathcal{H}}$ 与 $\mathbb{E}[A(t,x)]$ 的矩估计，以及定理4.6给出的尾概率界，分析渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 带有乘性高斯噪声的抛物型安德森方程的解 $u(t,x)$ 是否存在光滑的概率密度函数 $\rho(t,x;y)$？
• RQ2 当 $t,x$ 固定时，$\rho(t,x;y)$ 在 $y \to \infty$ 时的精确渐近行为是什么？
• RQ3 当 $y$ 与零保持正距离时，$\rho(t,x;y)$ 在 $t \to 0^+$ 时的行为如何？
• RQ4 当初值非负时，$\rho(t,x;y)$ 在 $y \to 0^+$ 时的行为如何？
• RQ5 密度界是否足够精确，使得在对数尺度下上下界仅相差乘性常数？

主要发现

• 当 $y$ 较大时，密度满足 $\rho(t,x;y) \geq \tilde{c}_1 t^{-(4-2\alpha_0-\alpha)/2} \exp\left(-\tilde{c}_2 t^{-(4-2\alpha_0-\alpha)/2} (\log(\tilde{c}_3 y))^{(4-\alpha)/2}\right)$，与上界仅相差常数因子。
• 在一维时空白噪声情形下，右尾行为为 $\rho(t,x;y) \asymp \exp\left(-c t^{-1/2} (\log y)^{3/2}\right)$，当 $y \to \infty$ 时。
• 当 $t \to 0^+$ 且 $x,y > a_0$ 固定时，密度满足 $\rho(t,x;y) \leq C(T) t^{-(4-2\alpha_0-\alpha)/4} \exp\left(-(-c_1(T)\log y - c_2(T))^2\right)$，表明 $\log y$ 的双指数衰减。
• 当 $y \to 0^+$ 时，本文给出了新颖的上界 $\rho(t,x;y) \leq C(T) t^{-(4-2\alpha_0-\alpha)/4} \exp\left(-(-c_1(T)\log y - c_2(T))^2\right)$，该界不同于以往结果，准确捕捉了非负初值下的左尾行为。
• 密度在两尾的对数衰减速率被证明与下界和上界在乘性常数范围内一致，确认了精确渐近性质。
• 该方法成功推广至非白噪声时间或费曼-卡茨可表征的情形，允许噪声具有广义协方差结构，包括 [HHNT] 中的情形。