[论文解读] Asymptotics of the Gelfand models of the symmetric groups

Pierre‐Loïc Méliot|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文研究了在 Gelfand 测度下随机分拆的渐近行为——其中分拆的概率与其维数成正比——采用非交换矩方法。结果表明，尽管一阶极限形状与 Logan-Shepp-Kerov-Vershik 曲线一致（如 Plancherel 测度情况），但二阶波动更大，涉及一个经过修正的广义高斯过程，其相对于 Kerov 的中心极限定理具有额外的确定性偏移和 √2 缩放因子。

ABSTRACT

If a partition $λ$ of size n is chosen randomly according to the Plancherel measure $P_n[λ] = (\dim λ)^2/n!$, then as n goes to infinity, the rescaled shape of $λ$ is with high probability very close to a non-random continuous curve $Ω$ known as the Logan-Shepp-Kerov-Vershik curve. Moreover, the rescaled deviation of $λ$ from this limit shape can be described by an explicit generalized gaussian process. In this paper, we investigate the analoguous problem when $λ$ is chosen with probability proportional to $\dim λ$ instead of $(\dim λ)^2$. We shall use very general arguments due to Ivanov and Olshanski for the first and second order asymptotics (cf. arXiv:math/0304010); these arguments amount essentially to a method of moments in a noncommutative setting. The first order asymptotics of the Gelfand measures turns out to be the same as for the Plancherel measure; on the contrary, the fluctuations are different (and bigger), although they involve the same generalized gaussian process. Many of our computations relie on the enumeration of involutions and square roots in $S_n$.

研究动机与目标

• 分析在 Gelfand 测度下随机分拆的渐近分布，其中分拆 λ 的概率与 dim λ 成正比。
• 比较 Gelfand 测度与经典 Plancherel 测度的一阶和二阶渐近行为。
• 确定 Kerov 的中心极限定理中的广义高斯过程是否在两种情况下均适用，尽管方差不同。
• 将非交换矩方法扩展至 Gelfand 测度设定，利用 Ivanov 和 Olshanski 的结果。
• 推测 β-Plancherel 测度与随机矩阵理论中 β-系综之间更广泛的联系。

提出的方法

• 本研究应用 Ivanov 和 Olshanski 开发的非交换矩方法，分析对称群上 Gelfand 测度的一阶和二阶渐近行为。
• 利用 Gelfand 测度对每个大小为 n 的分拆 λ 赋予与 dim λ 成正比的概率这一事实。
• 分析依赖于对称群 𝔖_n 中对合与平方根的计数以计算矩。
• 将杨图的形状按 √n 因子缩放，并在 n→∞ 的极限下研究其与极限曲线 Ω(s) 的偏差。
• 通过切比雪夫多项式和 θ 的傅里叶级数展开进行谱分解，推导出极限波动过程，其中 s=2cosθ。
• 关键方程将极限偏差 Δ∞,G(s) 表达为独立标准正态变量 ζk 的和，以及一个包含 sinθ 的确定性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 𝔖_n 上的 Gelfand 测度是否在 n 很大时导致与 Plancherel 测度相同的极限形状？
• RQ2 在 Gelfand 测度下，缩放后杨图形状的二阶波动与 Plancherel 测度下的波动相比如何？
• RQ3 Kerov 中心极限定理中的广义高斯过程是否仍适用于 Gelfand 测度，还是已被修改？
• RQ4 非交换矩方法是否可成功应用于 Gelfand 测度以推导渐近结果？
• RQ5 Gelfand 测度（β=1）与随机矩阵理论中的 β-系综之间存在何种关系？

主要发现

• 在 Gelfand 测度下，随机分拆的一阶渐近极限形状与 Logan-Shepp-Kerov-Vershik 曲线完全相同，确认其收敛至与 Plancherel 测度相同的确定性极限形状。
• 在 Gelfand 测度下，二阶波动大于 Plancherel 测度下的波动，极限过程中高斯分量的缩放因子为 √2。
• 极限波动过程由 Δ∞,G(2cosθ) = 1/2 − (2sinθ)/π + √2 Δ∞,P(2cosθ) 给出，其中 Δ∞,P 是 Kerov 中心极限定理中的广义高斯过程。
• 极限过程包含一个非随机的确定性项 1/2 − (2sinθ)/π，该部分在 Plancherel 情况下不存在。
• 相同的广义高斯过程 Δ∞,P 同时出现在 Gelfand 和 Plancherel 情况中，但振幅不同，且 Gelfand 情况下存在额外的偏移。
• 结果支持一个猜想：对于一般 β > 0 的 β-Plancherel 测度，其渐近行为类似，波动缩放为 √(2/β)，并具有依赖于 β 的确定性偏移。