[论文解读] Asymptotics of the stress concentration in high-contrast elastic composites

Haigang Li, Longjuan Xu|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 49被引用 7

一句话总结

本文针对高对比度弹性复合材料中紧密排列夹杂物的Lamé方程解的梯度，建立了渐近爆破表达式，其中材料系数趋于无穷大。研究揭示了应力集中爆破速率依赖于相邻界面的相对凸性，并推导出显式的爆破因子矩阵，完全解决了Babuška在该类介质中关于应力集中的问题。

ABSTRACT

A long-standing area of materials science research has been the study of electrostatic, magnetic, and elastic fields in composite with densely packed inclusions whose material properties differ from that of the background. For a general elliptic system, when the coefficients are piecewise Hölder continuous and uniformly bounded, an $\varepsilon$-independent bound of the gradient was obtained by Li and Nirenberg \cite{ln}, where $\varepsilon$ represents the distance between the interfacial surfaces. However, in high-contrast composites, when $\varepsilon$ tends to zero, the stress always concentrates in the narrow regions. As a contrast to the uniform boundedness result of Li and Nirenberg, in order to investigate the role of $\varepsilon$ played in such kind of concentration phenomenon, in this paper we establish the blow-up asymptotic expressions of the gradients of solutions to the Lamé system with partially infinite coefficients in dimensions two and three. We discover the relationship between the blow-up rate of the stress and the relative convexity of adjacent surfaces, and find a family of blow-up factor matrices with respect to the boundary data. Therefore, this work completely solves the Babuuska problem on blow-up analysis of stress concentration in high-contrast composite media. Moreover, as a byproduct of these local analysis, we establish an extended Flaherty-Keller formula on the global effective elastic property of a periodic composite with densely packed fibers, which is related to the "Vigdergauz microstructure" in the shape optimization of fibers.

研究动机与目标

• 解决高对比度弹性复合材料中紧密排列夹杂物的长期悬而未决的Babuška应力集中问题。
• 分析当夹杂物间距ε趋于零时，Lamé方程解的梯度的渐近行为。
• 确定应力爆破速率如何依赖于界面边界的几何特性，特别是相邻界面的相对凸性。
• 推导依赖于边界数据和几何形状的显式爆破因子矩阵。
• 将Flaherty-Keller公式扩展至具有密集排列纤维的周期性复合材料的有效弹性性能。

提出的方法

• 采用摄动方法分析二维和三维中具有部分无穷系数的Lamé系统。
• 应用基于截断函数和能量估计的迭代方法，以控制狭窄区域内的梯度增长。
• 运用分部积分法、Hölder不等式和Cauchy不等式，推导梯度的L²和L∞估计。
• 引入具有精心选择截断半径的二进制迭代技术，以处理界面附近的ε依赖行为。
• 利用尺度变换和局部L∞估计，将梯度以ε和边界几何形状表示。
• 通过梯度在夹杂物之间狭窄连接处的渐近分析，推导出爆破因子矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高对比度弹性复合材料中，当紧密排列夹杂物之间的距离ε趋于零时，位移场的梯度如何爆破？
• RQ2 爆破速率对相邻界面表面相对凸性的精确依赖关系是什么？
• RQ3 能否推导出显式的爆破因子矩阵，以捕捉边界数据和几何形状对应力集中影响？
• RQ4 梯度的渐近行为如何与具有密集排列纤维的周期性复合材料的有效弹性性能相关联？
• RQ5 经典Flaherty-Keller公式在多大程度上可被扩展，以涵盖高对比度、紧密排列纤维排列的情形？

主要发现

• 应力梯度的爆破速率与相邻界面的相对凸性定量相关，凸性越强，爆破越快。
• 推导出一族显式的爆破因子矩阵，其依赖于边界数据和夹杂物的几何形状。
• 在高对比度夹杂物情况下，爆破速率表现为ε^(−1)量级，高阶修正项依赖于维度和相对凸性。
• 当|z′| ≤ ε^(1/m)时，梯度爆破受Cε^d × ε^(2(m−2)/m)控制（α = 1,…,d），而当α = d+1,…,d(d+1)/2时，受Cε^d控制。
• 当|z′| > ε^(1/m)时，爆破速率按|z′|^(md) × |z′|^(2(m−2))变化（α = 1,…,d），而当α = d+1,…,d(d+1)/2时，按|z′|^(md)变化。
• 为具有密集排列纤维的周期性复合材料建立了扩展的Flaherty-Keller公式，将有效弹性模量与Vigdergauz微观结构联系起来。