[论文解读] Asymptotics of Toeplitz operators and applications in TQFT

Jørgen Ellegaard Andersen, Jakob Lindblad Blaavand|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用 12

一句话总结

该论文通过规范丛模空间的几何量子化，利用Hitchin联络与Toeplitz算子，建立了SU(n)映射类群量子表示的渐近忠实性。证明了这些表示在大水平极限下忠实捕捉了群结构，并构造了一个与复结构无关的形式Berezin-Toeplitz星积，且在阿贝尔情形提供了显式例子。

ABSTRACT

In this paper we provide a review of asymptotic results of Toeplitz operators and their applications in TQFT. To do this we review the differential geometric construction of the Hitchin connection on a prequantizable compact symplectic manifold. We use asymptotic results relating the Hitchin connec- tion and Toeplitz operators, to, in the special case of the moduli space of flat SU(n)-connections on a surface, prove asymptotic faithfulness of the SU(n) quantum representations of the mapping class group. We then go on to re- view formal Hitchin connections and formal trivializations of these. We discuss how these fit together to produce a Berezin-Toeplitz star product, which is independent of the complex structure. Finally we give explicit examples of all the above objects in the case of the abelian moduli space. We furthermore discuss an approach to curve operators in the TQFT associated to abelian Chern-Simons theory.

研究动机与目标

• 通过几何量子化建立SU(n)映射类群量子表示的渐近忠实性。
• 在预量子辛流形的背景下，建立Hitchin联络与Toeplitz算子之间的联系。
• 在模空间上构造一个与复结构无关的形式Berezin-Toeplitz星积。
• 在阿贝尔模空间情形提供显式构造与例子。
• 为阿贝尔Chern-Simons理论TQFT中的曲线算子发展一个框架。

提出的方法

• 在预量子化紧致辛流形上使用微分几何方法构造Hitchin联络。
• 在大水平极限下，通过渐近分析将Hitchin联络与Toeplitz算子关联。
• 采用形式Hitchin联络与形式平凡化的形式语言，推导星积。
• 通过Toeplitz算子的渐近展开构造Berezin-Toeplitz星积，确保其与复结构无关。
• 使用对称矩阵的矩阵微积分与微分法则，计算辛结构与复结构算子。
• 将几何量子化框架应用于具有固定单值的曲面的平坦SU(n)联络模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当水平k趋于无穷时，SU(n)映射类群的量子表示是否保持忠实？
• RQ2 Hitchin联络能否在平坦联络模空间上与Toeplitz算子渐近关联？
• RQ3 模空间上是否存在一个与复结构无关的形式Berezin-Toeplitz星积？
• RQ4 通过WZW理论与 skein 理论实现的TQFT的几何与代数构造，如何与几何量子化关联？
• RQ5 阿贝尔Chern-Simons理论TQFT中，曲线算子的显式形式是什么？

主要发现

• 当水平k趋于无穷时，SU(n)映射类群的量子表示是渐近忠实的。
• 在平坦SU(n)联络模空间上，Hitchin联络与Toeplitz算子在大k极限下渐近等价。
• 构造了一个与模空间上复结构选择无关的形式Berezin-Toeplitz星积。
• 通过矩阵导数与复结构虚部的逆矩阵，推导出辛形式与复结构算子的显式公式。
• 在阿贝尔情形，形式Hitchin联络与星积具有显式实现，为一般框架提供了具体例子。
• 通过Toeplitz算子与Hitchin联络的形式语言，发展了阿贝尔Chern-Simons理论中曲线算子的构造。