[论文解读] Atiyah classes of Lie bialgebras

Wei Hong|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Advanced Topics in Algebra被引用 6

一句话总结

本文通过使用 $π$ 和 $π^*$ 的李代数结构，提出了一种关于李双代数的 Atiyah 类与第一标量 Atiyah 类的新描述。证明了 Atiyah 类当且仅当上同调类 $[γ]$ 属于由伴随作用诱导的映射的核时为零，并表明当 $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ 与 $\mathfrak{g}=sb(n,\mathbb{C})$ 时，Atiyah 类不为零，这与 $\mathfrak{g}=su(n)$ 的情形形成对比。

ABSTRACT

The Atiyah class was originally introduced by M.F. Atiyah. It has many developments in recent years. One important case is the Atiyah classes of Lie algebra pairs. In this paper, we study the Atiyah class of the Lie algebra pair associated with a Lie bialgebra $(g,g^*)$. A simple description of the Atiyah class and the first scalar Atiyah class is given by the Lie algebra structures on $g$ and $g^*$. As its application, the Atiyah classes for some special cases are investigated.

研究动机与目标

• 通过基础李代数结构，为李双代数的 Atiyah 类与第一标量 Atiyah 类提供一种简洁的代数描述。
• 基于上同调数据与由伴随作用诱导的映射 $F_*$，研究 Atiyah 类的消失条件。
• 分析具体例子，特别是 $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ 的马林三元组结构，以确定 Atiyah 类是否消失。
• 阐明第一标量 Atiyah 类 $c_1(E)$ 消失的几何与代数条件，将其与特定元素 $v \in \mathfrak{g}$ 的存在性联系起来。

提出的方法

• 通过扩展 $A$-作用的 $L$-联络的曲率，定义李对 $(L = \mathfrak{g} \bowtie \mathfrak{g}^*, A = \mathfrak{g}, E = \mathfrak{g}^*)$ 的 Atiyah 类 $\alpha_E$。
• 引入映射 $F: \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \otimes \text{End}(\mathfrak{g}^*)$，定义为 $F(x \otimes y) = x \otimes (-\text{ad}^*_{y})$，其在上同调上诱导出映射 $F_*$。
• 定义 $\lambda \in \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g} \otimes \text{End}(\mathfrak{g}^*)$，满足 $\lambda(x, \xi) = \text{ad}^*_{\text{ad}^*_\xi(x)}$，并证明 $\lambda = -F \circ \gamma$。
• 利用上同调类 $[\lambda] = -F_*[\gamma]$ 来刻画 Atiyah 类 $\alpha_E = [\lambda]$。
• 通过 $\kappa(x) = \text{tr}(\text{ad}_x)$ 定义模向量 $\kappa \in \mathfrak{g}^*$，并利用 $\imath_\kappa \gamma$ 表达第一标量 Atiyah 类。
• 应用公式 $c_1(E) = -\frac{\sqrt{-1}}{2\pi} [\imath_\kappa \gamma]$，并推导出消失条件 $\text{ad}_\kappa^* = \text{ad}_v$（其中 $v \in \mathfrak{g}$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 李双代数 $(\mathfrak{g}, \mathfrak{g}^*)$ 关联的 Atiyah 类 $\alpha_E$ 在何时消失？
• RQ2 第一标量 Atiyah 类 $c_1(E)$ 的精确代数表达式是什么，其与李双代数上链 $\gamma$ 和模向量 $\kappa$ 的关系如何？
• RQ3 对于马林三元组 $(\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C}), \mathfrak{su}(n), \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C}))$，Atiyah 类是否消失？
• RQ4 是否存在 $v \in \mathfrak{g}$ 使得 $\text{ad}_\kappa^* = \text{ad}_v$，当 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C})$ 时？
• RQ5 $\kappa + v$ 的若尔当代数分解是什么？它如何影响 Atiyah 类的消失性？

主要发现

• Atiyah 类 $\alpha_E$ 当且仅当上同调类 $[\gamma]$ 属于由映射 $F: \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \otimes \text{End}(\mathfrak{g}^*)$ 诱导的映射 $F_*$ 的核时为零。
• 第一标量 Atiyah 类由 $c_1(E) = -\frac{\sqrt{-1}}{2\pi} [\imath_\kappa \gamma]$ 给出，其中 $\imath_\kappa \gamma$ 是模向量 $\kappa$ 与上链 $\gamma$ 的收缩。
• 对于李双代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C})$，$\mathfrak{g}^* = \mathfrak{su}(n)$，模向量 $\kappa$ 非零且属于 $\sqrt{-1}\mathfrak{t}$，即对角矩阵的复化。
• 对于三元组 $(L = \mathfrak{sl}(n,\mathbb{C}), \mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C}), \mathfrak{g}^* = \mathfrak{su}(n))$，Atiyah 类 $\alpha_E$ 不为零，通过反证法证明：假设 $\text{ad}_{\kappa + v} = 0$ 将导致 $\kappa = 0$，与引理 3.11 矛盾。
• 当 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C})$ 时，第一标量 Atiyah 类 $c_1(E)$ 不为零，因为不存在 $v \in \mathfrak{g}$ 满足 $\text{ad}_\kappa^* = \text{ad}_v$，因为 $\kappa \in \sqrt{-1}\mathfrak{t}$，而 $\text{ad}_\kappa^*$ 是半单的，但若 $v \in \mathfrak{n}_+$，则 $\text{ad}_v$ 为幂零的。
• 相比之下，当 $\mathfrak{g} = \mathfrak{su}(n)$ 时，Atiyah 类为零（见例 3.9），表明 $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ 的两个对偶实形式在 Atiyah 类行为上存在根本性不对称性。