[论文解读] Atiyah-Floer Conjecture: a Formulation, a Strategy to Prove and Generalizations

Aliakbar Daemi, Kenji Fukaya|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用 11

一句话总结

本文通过利用黎曼曲面上 SU(2) 平联络的扩展模空间，构造了辛瞬子 Floer 同调，解决了通过一族具有除子的辛流形对奇点进行的奇点消解问题，建立了带有整体形变的 $A_{\infty}$-范畴框架，并证明了等变 $A_{\infty}$-范畴与辛商范畴之间的同伦等价，将猜想推广至奇异辛空间和规范理论商空间。

ABSTRACT

Around 1988, Floer introduced two important theories: instanton Floer homology as invariants of 3-manifolds and Lagrangian Floer homology as invariants of pairs of Lagrangians in symplectic manifolds. Soon after that, Atiyah conjectured that the two theories should be related to each other and Lagrangian Floer homology of certain Lagrangians in the moduli space of flat connections on Riemann surfaces should recover instanton Floer homology. However, the space of flat connections on a Riemann surface is singular and the first step to address this conjecture is to make sense of Lagrangian Floer homology on this space. In this note, we formulate a possible approach to resolve this issue. A strategy to construct the desired isomorphism in the Atiyah-Floer conjecture is also sketched. We also use the language of A infty-categories to state generalizations of the Atiyah-Floer conjecture.

研究动机与目标

• 制定在黎曼曲面上平 SU(2) 连接模空间上定义拉格朗日子流形 Floer 同调的严格方法。
• 通过扩展模空间将瞬子 Floer 同调与辛瞬子 Floer 同调关联，提出证明 Atiyah-Floer 猜想的策略。
• 在存在奇异辛结构的情况下，利用 $A_{\infty}$-范畴与整体形变推广该猜想。
• 在辛流形上具有群作用的情况下，建立等变 $A_{\infty}$-范畴与辛商范畴之间的同伦等价。
• 将框架扩展至辛形式沿法交叉除子退化的情形，实现更广泛的推广。

提出的方法

• 利用平联络的扩展模空间，构造一族具有退化辛形式 $\omega_{\theta}$ 的辛流形 $X_{\theta}$，其中退化发生在光滑除子 $D$ 上。
• 在 Heegaard 分解中，定义与曲面体相关的拉格朗日子流形 $L_0, L_1 \subset X_{\theta} \setminus D$，它们在 $D$ 的补集上是单调的。
• 使用带有整体形变 $\mathfrak{b} \in H^{\text{even}}(Y;\Lambda_0)$ 的 $A_{\infty}$-范畴技术，在辛商 $Y = \mu^{-1}(0)/G$ 的 Fukaya 范畴上定义形变的 $A_{\infty}$-结构。
• 应用等变 Kuranishi 结构与拉格朗日子流形 cobordism 论证，将具有群作用 $G$ 的 $X \setminus D$ 上的 $A_{\infty}$-范畴与商空间 $Y$ 上的 $A_{\infty}$-范畴关联，推广至奇异除子情形。
• 利用量子 Kirwan 映射与规范 sigma 模型技术，关联具有群作用与矩映射时的 $A_{\infty}$-范畴。
• 在单调性与横截性假设下，证明 $\mathfrak{Fuk}^G(X\setminus D, \omega, \mathfrak{L})$ 与 $\mathfrak{Fuk}(Y, \overline{\omega}, \overline{\mathfrak{L}}, \mathfrak{b})$ 之间的同伦等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过扩展模空间的解析方法，在黎曼曲面上平 SU(2) 连接模空间的奇异情形下严格定义拉格朗日子流形 Floer 同调？
• RQ2 瞬子 Floer 同调 $I^*(M)$ 与与 Heegaard 分解中曲面体相关的拉格朗日子流形的拉格朗日子流形同调之间是否存在自然同构？
• RQ3 如何利用整体类 $\mathfrak{b}$ 对 $A_{\infty}$-范畴结构进行形变，以在奇异辛形式存在时建模辛瞬子 Floer 同调？
• RQ4 在辛流形 $X$ 上具有矩映射 $\mu$ 的群作用下，$G$-不变拉格朗日子流形的 $A_{\infty}$-范畴在何种条件下与辛商 $Y = \mu^{-1}(0)/G$ 上的 $A_{\infty}$-范畴同伦等价？
• RQ5 该框架能否推广至退化集 $D$ 为法交叉除子而非光滑除子的情形？

主要发现

• 本文通过一族具有退化辛形式 $\omega_{\theta}$ 的辛流形 $X_{\theta}$ 构造了辛瞬子 Floer 同调的候选对象，解决了原始模空间的奇点问题。
• 在单调性与横截性条件下，建立了 $X \setminus D$ 上 $G$-不变拉格朗日子流形的 $A_{\infty}$-范畴与辛商 $Y = \mu^{-1}(0)/G$ 上的 $A_{\infty}$-范畴之间的同伦等价。
• 商范畴上的 $A_{\infty}$-结构由整体类 $\mathfrak{b} \in H^{\text{even}}(Y;\Lambda_0)$ 形变，该形变建模了击中 Poincar\'e 对偶循环的全纯圆盘的量子修正。
• 该构造将 Atiyah-Floer 猜想推广至辛形式沿法交叉除子退化的情形，使框架超越光滑除子的限制。
• 作者证明了当 $D$ 为光滑除子时，$A_{\infty}$-范畴 $\mathfrak{Fuk}^G(X\setminus D, \omega, \mathfrak{L})$ 与 $\mathfrak{Fuk}(Y, \overline{\omega}, \overline{\mathfrak{L}}, \mathfrak{b})$ 同伦等价，确认了推广猜想的关键情形。
• 该框架通过 $A_{\infty}$-范畴与整体形变统一了规范理论与辛拓扑不变量，为 Atiyah-Floer 猜想提供了严格的范畴基础。