[论文解读] Atkin and Swinnerton-Dyer congruences and noncongruence modular forms

Wen-Ching Winnie Li, Линг Лонг|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 54被引用 7

一句话总结

本文研究了非同余模形式的 Atkin 和 Swinnerton-Dyer (ASD) 同余关系——即 Hecke 关系的 p 进类比——并建立了其与伽罗瓦表示和形式群律之间的联系。证明了傅里叶系数分母有界的条件意味着模形式为同余形式，并为非同余情形下的 ASD 同余关系提供了证据，包括在 p=5 时对一个权为 1 的非同余形式的猜想超同余关系。

ABSTRACT

Atkin and Swinnerton-Dyer congruences are special congruence recursions satisfied by coefficients of noncongruence modular forms. These are in some sense $p$-adic analogues of Hecke recursion satisfied by classic Hecke eigenforms. They actually appeared in different context and sometimes can be obtained using the theory of formal groups. In this survey paper, we introduce the Atkin and Swinnerton-Dyer congruences, and discuss some recent progress on this topic.

研究动机与目标

• 通过 Atkin 和 Swinnerton-Dyer (ASD) 同余关系研究非同余模形式傅里叶系数的算术性质。
• 建立 ASD 同余关系与伽罗瓦表示理论及形式群律之间的联系。
• 证明：若模形式的傅里叶系数属于 ℚ 且分母有界，则其必为同余形式。
• 探索非同余情形下 ASD 型同余关系的有效性，包括猜想的超同余关系。
• 研究 Atkin 的 U_p 算子及其在 p 进模形式中的作用，特别是在 j-不变量及相关模函数的背景下。

提出的方法

• 利用与非同余尖点形式相关的 ℓ-进伽罗瓦表示，推导出 S_k(Γ) 中形式的 ASD 型同余关系。
• 应用 Scholl 定理，证明当素数 p 具有 d 个不同的 p 进单位本征值时，S_k(Γ) 的一组基满足 ASD 同余关系。
• 利用形式群律，推导出模 p^{1+ord_p n} 的 ASD 型同余关系（k=2 时），并将其与 Dwork 的 p 进超几何级数联系起来。
• 利用几何 Frobenius 的特征多项式，将 ASD 同余关系推广为 S_k(Γ) 中的 (2d+1) 项关系。
• 通过狄利克雷特征的扭变，将非同余形式与同余 Hecke 特征形式进行比较，得出其在标量倍数意义下一致。
• 使用计算工具（Sage）验证猜想的超同余关系，例如在 p=5 时，对权为 1 的非同余形式 f，有 t_m(f,5n) ≡ t_m(f,n) mod 5^{2m+4}。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非同余模形式满足 Atkin 和 Swinnerton-Dyer 同余关系？
• RQ2 ASD 同余关系能否推广至分母更弱的弱解析模形式？
• RQ3 ASD 同余关系在多大程度上反映了其背后的伽罗瓦表示结构？
• RQ4 U_p 算子在生成 p 进模形式及超同余关系中起什么作用？
• RQ5 具有有界分母的非同余模形式是否必然源于同余子群？

主要发现

• 通过与 Hecke 特征形式的扭变比较，证明了傅里叶系数属于 ℚ 且分母有界的模形式必为同余尖点形式。
• 当 Frobenius 作用具有 d 个不同的 p 进单位本征值时，S_k(Γ) 的一组基满足模 p^{(k-1)(1+ord_p n)} 的三重 ASD 同余关系。
• 通过 Frobenius 的特征多项式，ASD 同余关系被推广为 S_k(Γ) 中对所有 n ≥ 1 成立的 (2d+1) 项关系。
• Kazalicki 和 Scholl 将 ASD 同余关系扩展至弱解析形式，模为 p^{(k-1)ord_p n}，弱于原始形式。
• 对一个权为 1 的非同余形式 f = √(f₁f₂) 在 p=5 时提出一个猜想的超同余关系：当 n 为奇数且 m ≥ 1 时，有 t_m(f,5n) ≡ t_m(f,n) mod 5^{2m+4}。
• Atkin 关于 j-不变量系数模 13^m 的猜想由 Koike 和 Katz 通过 13-进 Hecke 特征形式证明，确认了 U_p 算子与 p 进模形式之间存在深刻联系。