[论文解读] Atlases for Ineffective Orbifolds

Dorette Pronk, Laura Scull+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对非有效轨道丛的新型轨道丛图册定义——通过使用群双模和抽象嵌入重新定义图册嵌入，将经典图册方法推广至包含非有效群作用的情形。主要贡献在于证明了该新图册定义与通过莫里塔等价关联的标准拓扑群胚定义在非有效轨道丛上是等价的。

ABSTRACT

We give a definition of atlases for ineffective orbifolds, and prove that this definition leads to the same notion of orbifold as that defined via topological groupoids.

研究动机与目标

• 解决现有非有效轨道丛图册定义与基于群胚的标准轨道丛定义之间的不匹配问题。
• 通过使用抽象嵌入和群双模重新定义图册嵌入，将经典图册形式化推广至非有效轨道丛。
• 建立一个严格且一致的基于图册的非有效轨道丛框架，使其与群胚方法相匹配。
• 为研究非有效情形下的子轨道丛和嵌入提供基础。
• 通过局部图册与图册结构支持广义轨道丛范畴的发展。

提出的方法

• 使用群双模和图册之间的抽象嵌入，定义非有效轨道丛的新图册。
• 在群作用范畴中引入抽象嵌入的概念，以推广图册过渡映射。
• 通过使用涉及双模和过渡数据的三元组等价类，定义源映射和目标映射，从而从图册构造群胚。
• 通过构造一个具有相容左右群胚作用的双模，建立从图册构造的群胚之间的莫里塔等价。
• 通过图册的细化构造可复合三元组空间的流形结构，确保子mersions的满射性并保持与群胚作用的相容性。
• 验证所得双模满足莫里塔等价的公理，包括完备性、忠实性以及与群胚作用的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典轨道丛图册定义扩展至群作用不一定是有效的情形？
• RQ2 需要何种结构才能正确地定义非有效轨道丛图册之间的嵌入，以确保图册公理成立？
• RQ3 所提出的非有效轨道丛图册定义是否与标准拓扑群胚方法产生相同的轨道丛对象？
• RQ4 能否在从图册构造的群胚与定义轨道丛的群胚之间建立莫里塔等价？
• RQ5 如何利用图册形式化研究非有效情形下的子轨道丛和嵌入？

主要发现

• 所提出的非有效轨道丛图册定义与通过恰当局部紧的埃坦拓扑群胚的标准定义等价。
• 新定义通过群双模和抽象嵌入重新定义图册嵌入，解决了先前方法中的不一致性。
• 在从图册导出的群胚与定义轨道丛的群胚之间构造了莫里塔等价，证明了两种定义的等价性。
• 双模 M(𝒰) 的构造涉及对三元组不相交并集的商，该等价关系尊重群胚作用和过渡数据。
• 从 M(𝒰)jk 到图册定义域的映射 τ 和 ε 是满射子mersions，确保结构与群胚拓扑相容。
• 双模上的左、右群胚作用定义良好，并满足莫里塔等价的公理，从而完整建立了图册与群胚之间的对应关系。