[论文解读] Attractor and synchronization for a complex network of reaction-diffusion systems of FitzHugh-Nagumo type

Benjamin Ambrosio, M. A. Aziz-Alaoui+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文证明了具有部分扩散的 $n$ 个 FitzHugh-Nagumo 型反应-扩散系统复杂网络存在全局吸引子，并给出了 $L^{\infty}$-界。论文证明了存在一个临界耦合强度阈值，可确保在一般网络拓扑下实现完全同步，并推导出最小耦合强度与网络规模和结构之间的启发式规律，通过螺旋波和均匀图案的数值验证得以支持。

ABSTRACT

We focus on the long time behavior of complex networks of reaction-diffusion (RD) systems. We prove the existence of the global attractor and a $L^{\infty}$-bound for a network of $n$ RD systems with $d$ variables each. This allows us to prove the identical synchronization for general class of networks and establish the existence of a coupling strength threshold value that ensures such a synchronization. Then, we apply these results to some particular networks with different structures (i.e. different topologies) and perform numerical simulations. We found out theoretical and numerical heuristic laws for the minimal strengh coupling needed for synchronization relatively to the number of nodes and the network topology, and discuss the link between spatial dimension and synchronization.

研究动机与目标

• 分析具有部分扩散的 $n$ 个 FitzHugh-Nagumo 型反应-扩散系统复杂网络的长期行为。
• 在其中建立全局吸引子，以研究同步行为。
• 确定一个理论上的耦合强度阈值，以保证在任意网络拓扑下实现完全同步。
• 基于网络规模和拓扑结构，推导出实现同步所需的最小耦合强度的启发式规律。
• 通过数值方法研究此类网络中空间效应对同步和模式形成的影响。

提出的方法

• 将网络建模为图结构，其中节点为 $d$-维反应-扩散系统，边表示耦合函数。
• 分析一个被划分为扩散部分（$s$ 个变量）和非扩散部分（$d-s$ 个变量）的系统，仅在前 $s$ 个分量中存在扩散和耦合。
• 利用能量估计和 Gronwall 型不等式，推导出解的 $L^2$ 和 $H^1$ 有界性，确保预紧性。
• 应用广义 Gronwall 引理（定理 4 和推论 3）以控制解范数的增长，建立一致有界性。
• 采用具有 Neumann 边界条件和多种初始条件的数值模拟，研究同步和模式形成。
• 将数值数据拟合为多项式函数，推导出最小耦合强度随网络规模 $n$ 变化的启发式规律。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有部分扩散的 $n$ 个耦合 FitzHugh-Nagumo 型反应-扩散系统的网络，是否存在全局吸引子？
• RQ2 确保在任意网络拓扑下实现完全同步的耦合强度阈值是多少？
• RQ3 实现同步所需的最小耦合强度如何随网络中节点数的变化而变化？
• RQ4 网络拓扑结构和空间维度对同步及模式形成有何影响？
• RQ5 能否利用解范数的理论界来证明此类系统中同步性和吸引子的存在性？

主要发现

• 系统在 $\mathscr{H} = (L^2(\Omega))^{nd}$ 中存在全局吸引子，确保所有轨迹的长期收敛。
• 建立了网络的 $L^\infty$-界，这对证明同步性和一致有界性至关重要。
• 存在一个理论上的耦合强度阈值，可保证在一般网络拓扑下实现完全同步。
• 数值模拟表明，在完全线性连接的 3 节点网络中，当耦合强度 $g_3 \geq 0.02$ 时发生同步。
• 推导出启发式规律 $g_n = 0.0000167n^2 + 0.00062n + 0.02$，可预测在 $n$ 从 3 到 20 变化时环形连接网络的最小同步耦合强度。
• 无论初始条件如何，同步网络中均能持续出现渐近空间模式，包括螺旋波，表明具有鲁棒的模式形成能力。