[论文解读] Attractor Bifurcation and Final Patterns of the N-Dimensional and Generalized Swift-Hohenberg Equations

Masoud Yari|ArXiv.org|Feb 8, 2008

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文利用一种新颖的吸引子分歧理论，研究了在各种边界条件下n维及广义Swift-Hohenberg方程中的吸引子分歧与最终模式。证明了当控制参数λ穿过临界值λ_c时，系统从平凡解分歧至一个维度介于m−1与m之间的吸引子𝒜_λ，其中m为(I+Δ)²的第一特征值的重数，并建立了分歧吸引子的渐近稳定性。

ABSTRACT

In this paper I will investigate the bifurcation and asymptotic behavior of solutions of the Swift-Hohenberg equation and the generalized Swift-Hohenberg equation with the Dirichlet boundary condition on a one- dimensional domain $(0,L)$. I will also study the bifurcation and stability of patterns in the n-dimensional Swift-Hohenberg equation with the odd-periodic and periodic boundary conditions. It is shown that each equation bifurcates from the trivial solution to an attractor, when the control parameter crosses the principal eigenvalue of the linearized equation. The local behavior of solutions and their bifurcation to an invariant set near higher eigenvalues are analyzed as well.

研究动机与目标

• 分析一维Swift-Hohenberg方程在Dirichlet边界条件与奇周期边界条件下的分歧与解的渐近行为。
• 研究n维Swift-Hohenberg方程在奇周期与周期边界条件下的最终模式的稳定性与结构。
• 确定从平凡解在λ = λ_c处分歧出的吸引子𝒜_λ的精确维度与拓扑结构。
• 在平凡解的稳定流形之外的相空间中，建立分歧吸引子的渐近稳定性。

提出的方法

• 应用马和王开发的新吸引子分歧理论，分析在λ = λ_c处从平凡解出发的分歧。
• 通过Lyapunov-Schmidt约化将方程约化至其中心流形，以研究临界参数附近的非线性相互作用。
• 利用能量估计与微分不等式技术，证明当λ ≤ λ_c时平凡解的全局渐近稳定性。
• 计算算子(I+Δ)²的特征值与特征函数，以确定λ_c及第一特征值的重数m。
• 分析由中心流形约化导出的分歧方程，以识别定态解的数量与性质。
• 利用同调与同胚对吸引子𝒜_λ进行拓扑表征，表明其同伦等价于S^{n−1}，或当n=2时同胚于S¹。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维Swift-Hohenberg方程中，当λ穿过λ_c时，从平凡解分歧出的吸引子𝒜_λ的精确结构与维度是什么？
• RQ2 在n维情形下，奇周期与周期边界条件下吸引子如何分歧，其拓扑类型为何？
• RQ3 当λ > λ_c时，分歧吸引子中包含的定态解的数量与稳定性类型是什么？
• RQ4 吸引子𝒜_λ的渐近行为如何？其在相空间中的全局稳定性性质为何？

主要发现

• 当λ > λ_c时，一维Swift-Hohenberg方程在Dirichlet或奇周期边界条件下分歧至恰好两个定态解。
• 在一维周期边界条件下，分歧吸引子𝒜_λ同胚于S¹。
• 在n维情形下采用奇周期边界条件时，吸引子𝒜_λ恰好包含2^n个正则定态解。
• 在n维空间中采用周期边界条件（n ≤ 3）时，吸引子𝒜_λ包含一个由定态解构成的环面𝕋^n。
• 在λ_c处分歧出的吸引子𝒜_λ的维度介于m−1与m之间，其中m为(I+Δ)²的第一特征值的代数重数。
• 平凡解u=0在λ ≤ λ_c时是全局渐近稳定的，且吸引子𝒜_λ吸引所有位于codimension为m的稳定流形之外的解。