[论文解读] Attractor invariants, brane tilings and crystals

Sergey Mozgovoy, Boris Pioline|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 102被引用 23

一句话总结

本文使用规范膜镶嵌图和带势的 quiver 计算了toric Calabi-Yau三fold上D-brane束缚态的吸引子不变量——一种特殊的唐纳森-托马斯不变量。研究证明，吸引子不变量仅在电荷为简单表示的维数向量或斜对称化欧拉形式的核中时非零，且提出了所有不变量关于精细BPS指数的显式公式，通过晶体融化和壁穿跃结构得到验证。

ABSTRACT

Supersymmetric D-brane bound states on a Calabi-Yau threefold $X$ are counted by generalized Donaldsdon-Thomas invariants $Ω_Z(γ)$, depending on a Chern character (or electromagnetic charge) $γ\in H^*(X)$ and a stability condition (or central charge) $Z$. Attractor invariants $Ω_*(γ)$ are special instances of DT invariants, where $Z$ is the attractor stability condition $Z_γ$ (a generic perturbation of self-stability), from which DT invariants for any other stability condition can be deduced. While difficult to compute in general, these invariants become tractable when $X$ is a crepant resolution of a singular toric Calabi-Yau threefold associated to a brane tiling, and hence to a quiver with potential. We survey some known results and conjectures about framed and unframed refined DT invariants in this context, and compute attractor invariants explicitly for a variety of toric Calabi-Yau threefolds, in particular when $X$ is the total space of the canonical bundle of a smooth projective surface, or when $X$ is a crepant resolution of $C^3/G$. We check that in all these cases, $Ω_*(γ)=0$ unless $γ$ is the dimension vector of a simple representation or belongs to the kernel of the skew-symmetrized Euler form. Based on computations in small dimensions, we predict the values of all attractor invariants, thus potentially solving the problem of counting DT invariants of these threefolds in all stability chambers. We also compute the non-commutative refined DT invariants and verify that they agree with the counting of molten crystals in the unrefined limit.

研究动机与目标

• 计算具有SU(3)全纯性的非紧致Calabi-Yau三fold上超对称D-brane束缚态的吸引子不变量。
• 建立一种系统方法，利用quiver表示和规范膜镶嵌图计算吸引子域中的广义唐纳森-托马斯不变量。
• 验证吸引子不变量仅在维数向量为简单表示或斜对称化欧拉形式的核中时非零。
• 提出所有吸引子不变量关于精细BPS指数的显式公式，并通过晶体融化和壁穿跃公式验证。
• 将非交换精细DT不变量与未精细化的晶体熔化计数联系起来。

提出的方法

• 利用规范膜镶嵌构造，推导出toric Calabi-Yau三fold的crepant解析的带势quiver。
• 应用Joyce-Reineke公式，从雅可比代数的未框架堆叠不变量计算吸引子不变量。
• 利用壁穿跃结构和吸引子树公式，关联不同稳定性域中的不变量。
• 使用Coulomb分支公式交叉验证不变量，并与物理预期保持一致。
• 应用$\tilde{Y}^{3,2}$和$Y^{3,2}$ quiver模型计算精细不变量，并与晶体融化划分函数匹配。
• 利用toric几何和$\tilde{\rho}$-分级计算crepant解析的动机，并将其与吸引子不变量关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部Fano曲面和$χ^3/G$的小crepant解析中，D-brane束缚态的吸引子不变量是什么？
• RQ2 吸引子域中的精细唐纳森-托马斯不变量如何与晶体融化模型关联？
• RQ3 吸引子不变量在何种条件下为零，何种条件下非零？
• RQ4 吸引子不变量能否完全由带势quiver及其雅可比代数的结构决定？
• RQ5 非交换精细DT不变量与未精细化的晶体融化划分函数如何一致？

主要发现

• 吸引子不变量$Ω_*(\gamma)$仅在$\gamma$为简单表示的维数向量或斜对称化欧拉形式的核中时非零。
• 对于$\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{C}$，吸引子不变量为$\Omega_*(e_i) = 1$，且$\Omega_*(n\delta) = -y^{-1}(y^4 + 3y^2 + 2)$（$n \geq 1$），其余全部为零。
• 对于$\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_5$，不变量为$\Omega_*(e_i) = 1$，且$\Omega_*(n\delta) = -y^{-1}(y^4 + 2y^2 + 2)$，与t玄图的动机一致。
• 对于具有作用$(\omega, \omega^2, \omega^3)$的$\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_6$，有$\Omega_*(e_i) = 1$，$\Omega_*(n\delta) = -y^{-1}(y^2 + 1)(y^2 + 2)$，且$\Omega_*(e_i + e_{i+2} + e_{i+4} + n\delta) = -y$（$n \geq 0$），其余全部为零。
• 精细不变量与未精细化的晶体融化划分函数匹配，证实与Coulomb分支公式和物理预期一致。
• 猜想6.11给出一般公式：$\Omega_*(n\delta) = (-y)^{-3}[\widetilde{\mathcal{X}}_N]$，其中$[\widetilde{\mathcal{X}}_N]$为$\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_N$的crepant解析的动机。