[论文解读] Attractors for singularly perturbed hyperbolic equations on unbounded domains

Martino Prizzi, Krzysztof P. Rybakowski|ArXiv.org|Mar 21, 2007

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文建立了在无界区域上具有临界非线性项和非光滑系数的奇异摄动双曲方程全局吸引子的上半连续性，扩展了Hale与Raugel的结果，允许临界增长非线性项、无界区域以及非光滑系数。证明了当摄动参数 ε → 0 时，H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 中的吸引子 𝒜_ε 收敛于极限抛物方程的吸引子 𝒜₀。

ABSTRACT

For an arbitrary unbounded domain $Ω\subset\R^3$ and for $\eps>0$, we consider the damped hyperbolic equations \leqno{(H_\eps)} \eps u_{tt}+ u_t+β(x)u- \sum_{ij}(a_{ij}(x) u_{x_j})_{x_i}&=f(x,u),\quad x\in Ω, t\in o0,\infty.., u(x,t)&=0,\quad x\in \partial Ω, t\in o0,\infty... and their singular limit as $\eps o0$, i.e. the parabolic equation \leqno{(P)} u_t+β(x)u- \sum_{ij}(a_{ij}(x)u_{x_j})_{x_i}&=f(x,u),\quad x\in Ω, t\in o0,\infty.., u(x,t)&=0,\quad x\in \partial Ω, t\in o0,\infty... Under suitable assumptions, $(H_\eps)$ possesses a compact global attractor $\Cal A_\eps$ in the phase space $H^1_0(Ω) imes L^2(Ω)$, while $(P)$ possesses a compact global attractor $\widetilde{\Cal A_0}$ in the phase space $H^1_0(Ω)$, which can be embedded into a compact set ${\Cal A_0}\subset H^1_0(Ω) imes L^2(Ω)$. We show that, as $\eps o0$, the family $({\Cal A_\eps})_{\eps\in[0,\infty[}$ is upper semicontinuous with respect to the topology of $H^1_0(Ω) imes H^{-1}(Ω)$. We thus extend a well known result by Hale and Raugel in three directions: first, we allow $f$ to have critical growth; second, we let $Ω$ be unbounded; last, we do not make any smoothness assumption on $\partialΩ$, $β(\cdot)$, $a_{ij}(\cdot)$ and $f(\cdot,u)$.

研究动机与目标

• 将Hale与Raugel关于吸引子半连续性的结果扩展至无界区域。
• 允许非线性项 f(x,u) 具有临界增长，而不仅限于次临界增长。
• 去除对区域边界 ∂Ω、系数 β(x)、a_ij(x) 以及 f(x,u) 的光滑性假设。
• 在 H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 拓扑下建立吸引子收敛性，而不仅限于 H¹₀(Ω) × L²(Ω) 拓扑。
• 证明在 ε = 0 处，吸引子族 (𝒜_ε)ε∈[0,∞[ 是上半连续的。

提出的方法

• 分析在无界区域 Ω ⊂ ℝ³ 上的阻尼双曲方程 εu_tt + u_t + β(x)u - ∑(a_ij(x)u_xj)_xi = f(x,u)。
• 考虑当 ε → 0 时的奇异极限，导出抛物方程 u_t + β(x)u - ∑(a_ij(x)u_xj)_xi = f(x,u)。
• 基于Hilbert空间 H¹₀(Ω) 和 H⁻¹(Ω) 中的弱收敛与插值，采用紧致性论证。
• 通过能量估计与弱收敛，运用反证法证明在紧致时间区间上 H¹₀(Ω) 中的强收敛。
• 利用 H₀ 与 H⁻¹ 之间的插值，将收敛性从 H₀ 提升至 H⁻α（其中 α ∈ (0,1]）。
• 依赖于对所有 ε ∈ (0,ε₀] 均成立的吸引子 𝒜_ε 的一致有界性，确保在目标拓扑下的预紧性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界区域上，奇异摄动双曲方程的全局吸引子 𝒜_ε 在 ε → 0 时是否保持上半连续性？
• RQ2 当 f(x,u) 具有临界增长而非次临界增长时，该半连续性结果是否仍可推广？
• RQ3 当区域边界 ∂Ω 及系数 β(x)、a_ij(x)、f(x,u) 均不光滑时，上半连续性是否仍然成立？
• RQ4 是否可以在 H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 拓扑下建立收敛性，而非仅在 H¹₀(Ω) × L²(Ω) 拓扑下？
• RQ5 在无界区域中，当小 ε > 0 时，吸引子 𝒜_ε 的正则性与紧致性行为如何？

主要发现

• 双曲方程 (H_ε) 在相空间 H¹₀(Ω) × L²(Ω) 中对每个 ε > 0 都具有紧致的全局吸引子 𝒜_ε。
• 极限抛物方程 (P) 在 H¹₀(Ω) 中具有紧致的全局吸引子 𝒜₀，且可嵌入至 H¹₀(Ω) × L²(Ω)。
• 在 H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 拓扑下，族 (𝒜_ε)ε∈[0,∞[ 在 ε = 0 处是上半连续的。
• 收敛性在紧致时间区间上一致成立，并且在 H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 范数下成立。
• 在 H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 中建立了与 ε 无关的 𝒜_ε 的一致有界性，从而支持反证法论证。
• 该结果无需假设 ∂Ω、β(x)、a_ij(x) 或 f(x,u) 的光滑性，且允许 f(x,u) 具有临界增长。