[论文解读] Aubry-Mather and weak KAM theories for contact Hamiltonian systems

Kaizhi Wang, Lin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Quantum chaos and dynamical systems被引用 2

一句话总结

本文建立了接触哈密顿系统在 $T^*M \times \mathbb{R}$ 上满足托内利条件时后向弱 KAM 解的唯一性，并证明了极大前向弱 KAM 解的存在性。它将阿布里集表征为两个 Legendre 伪图的交集，并表明从阿布里集到其像的投影是双李普希茨的，同时通过近期文献中的方法引入了具有校准曲线性质的障碍函数。

ABSTRACT

This paper is concerned with the study of Aubry-Mather and weak KAM theories for contact Hamiltonian systems with Hamiltonians $H(x,u,p)$ defined on $T^*M imes\R$, satisfying Tonelli conditions with respect to $p$ and $0 0$, where $M$ is a connected, closed and smooth manifold. First, we show the uniqueness of the backward weak KAM solutions of the corresponding Hamilton-Jacobi equation. Using the unique backward weak KAM solution $u_-$, we prove the existence of the maximal forward weak KAM solution $u_+$. Next, we analyse Aubry set for the contact Hamiltonian system showing that it is the intersection of two Legendrian pseudographs $G_{u_-}$ and $G_{u_+}$, and that the projection $\pi:T^*M imes \R o M$ induces a bi-Lipschitz homeomorphism $\pi|_{ ilde{\mathcal{A}}}$ from Aubry set $ ilde{\mathcal{A}}$ onto the projected Aubry set $\mathcal{A}$. At last, we introduce the notion of barrier functions and study their interesting properties along calibrated curves. Our analysis is based on a recent method by \cite{WWY,WWY1}.

研究动机与目标

• 建立接触哈密顿系统在 $T^*M \times \mathbb{R}$ 上满足托内利条件时后向弱 KAM 解的唯一性。
• 利用唯一的后向解证明极大前向弱 KAM 解的存在性。
• 通过后向与前向解相关的两个 Legendre 伪图的交集表征阿布里集。
• 通过投影 $\pi: T^*M \times \mathbb{R} \to M$ 分析阿布里集的几何与拓扑结构，表明其为双李普希茨同胚。
• 在接触哈密顿系统背景下引入并研究校准曲线上障碍函数的性质。

提出的方法

• 利用文献 \cite{WWY,WWY1} 中的近期方法分析接触哈密顿系统的弱 KAM 解。
• 通过 $H$ 关于 $p$ 的托内利型正则性与凸性假设，证明后向弱 KAM 解 $u_-$ 的唯一性。
• 利用唯一的后向解 $u_-$ 及粘性解的性质，构造极大前向弱 KAM 解 $u_+$。
• 将阿布里集 $\tilde{\mathcal{A}}$ 定义为 Legendre 伪图 $G_{u_-}$ 与 $G_{u_+}$ 的交集，利用校准曲线的结构。
• 通过度量与几何论证，建立从阿布里集到投影阿布里集 $\mathcal{A}$ 的投影 $\pi|_{\tilde{\mathcal{A}}}$ 的双李普希茨性质。
• 引入障碍函数并分析其在校准曲线上的行为，表明在接触设定下具有单调性与比较性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足托内利条件的接触哈密顿系统，其后向弱 KAM 解是否唯一？
• RQ2 在接触设定下，能否从唯一的后向解构造出极大前向弱 KAM 解？
• RQ3 在接触哈密顿框架下，阿布里集如何通过 Legendre 伪图进行几何表征？
• RQ4 阿布里集与其在 $M$ 上的投影之间存在何种拓扑关系？
• RQ5 障碍函数在校准曲线上表现出何种性质？

主要发现

• 满足托内利条件的接触哈密顿系统，其后向弱 KAM 解 $u_-$ 关于 $p$ 唯一确定。
• 极大前向弱 KAM 解 $u_+$ 存在，并可由唯一的后向解 $u_-$ 构造得出。
• 阿布里集 $\tilde{\mathcal{A}}$ 恰好是 Legendre 伪图 $G_{u_-}$ 与 $G_{u_+}$ 的交集，提供了几何表征。
• 从阿布里集到投影阿布里集 $\mathcal{A} \subset M$ 的投影 $\pi|_{\tilde{\mathcal{A}}}$ 是双李普希茨同胚。
• 引入障碍函数，并在校准曲线上证明其在接触设定下具有单调性与比较性质。
• 分析结果确认了弱 KAM 理论在接触哈密顿框架下的自洽性，使用了文献 \cite{WWY,WWY1} 中的近期方法。