[论文解读] Aubry-Mather theory and Lipschitz continuity of the time separation

Stefan Suhr|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过引入一类新的时空——A₁类时空（即紧致、vicious的时空，其阿贝尔覆盖全局双曲，且存在一致的类时环路族），推进了洛伦兹几何中的Aubry-Mather理论。该文证明了至少存在 $\dim H_1(M,\mathbb{R})$ 个几何上互异的类时极大曲线，并证明了在修改后的稳定时间锥 $\mathfrak{T}_\varepsilon \setminus B_K(0)$ 上，阿贝尔覆盖上的时间分离函数具有Lipschitz连续性，从而解决了在非紧致洛伦兹几何设定下分析Busemann函数与测地流时的关键障碍。

ABSTRACT

We consider Aubry-Mather theory for a subclass of class A spacetimes, i.e. compact vicious spacetimes with globally hyperbolic Abelian cover. In this subclass, called class A_1, we obtain improved results on timelike maximizers and Lipschitz continuity of the time separation of the Abelian cover on the i.g. optimal subsets.

研究动机与目标

• 将Aubry-Mather理论扩展至A类时空的一个子类——A₁类时空，其中一致vicious性确保对类时极大曲线更强的控制。
• 通过引入一致族条件，排除极限测度时间分离为零的病态情形，从而解决类时极大曲线中非一致切向行为的问题。
• 证明在阿贝尔覆盖上，时间分离函数的Lipschitz连续性，这是分析全局双曲时空中Busemann函数与测地流的关键步骤。
• 为A₁类时空中存在 $\dim H_1(M,\mathbb{R})$ 个互异类时极大曲线建立几何基础，优于此前在A类时空中的结果。

提出的方法

• 通过连续的类时环路族及其基点正确评估，引入一致vicious性的概念，确保类时极大曲线一致有界。
• 利用一致族条件，排除时间分离为零的极限测度（$\mathfrak{L}(\mu_0) = 0$），同时保留时间分离为正的极限测度（$\mathfrak{L}(\mu_1) > 0$），从而实现 $\dim H_1(M,\mathbb{R})$ 个互异极大曲线的构造。
• 应用引理3.4的方法，控制共射线的切线，并验证时间分离Lipschitz连续性所必需的“类时共射线”条件。
• 将最优定义域 $\mathfrak{T}_\varepsilon \setminus B_K(0)$ 定义为时间分离为Lipschitz的区域，其中 $\mathfrak{T}_\varepsilon$ 距离稳定时间锥边界 $\varepsilon$ 远，$B_K(0)$ 则移除零点邻域以避免奇点。
• 利用Gau{̈}ss引理与凸正常邻域，证明因果曲线可同伦为分段光滑、未来指向或类时曲线，且保持因果性。
• 利用正常邻域中测地线的收敛性，证明未来指向测地线的极限仍为未来指向，从而确保类时性质在极限下的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在A类时空中，若存在一致的类时环路族，是否能保证存在 $\dim H_1(M,\mathbb{R})$ 个几何上互异的类时极大曲线？
• RQ2 能否证明A₁类时空的阿贝尔覆盖上，时间分离函数在修改后的稳定时间锥 $\mathfrak{T}_\varepsilon \setminus B_K(0)$ 上为Lipschitz连续？
• RQ3 何种条件可防止存在极限测度时间分离为零的类时极大曲线，从而避免阻碍旋转类基的完整构造？
• RQ4 一致vicious性条件如何消除测地流中的病态行为，如切线趋近光锥或支持集非一致有界？
• RQ5 时间分离在 $\mathfrak{T}_\varepsilon \setminus B_K(0)$ 上的Lipschitz连续性在多大程度上可推广至非共形平坦或非二维的情形？

主要发现

• 本文证明，对任意A₁类时空，存在至少 $\dim H_1(M,\mathbb{R})$ 个最大遍历测度 $\mu_k$，其旋转类构成 $H_1(M,\mathbb{R})$ 的一组基，且其支集与光锥之间距离至少为 $\varepsilon > 0$。
• 在阿贝尔覆盖上，时间分离函数 $d(x,y)$ 在集合 $\{(x,y) \in \overline{M} \times \overline{M} \mid y - x \in \mathfrak{T}_\varepsilon \setminus B_{K(\varepsilon)}(0)\}$ 上为 $L(\varepsilon)$-Lipschitz连续，且对所有 $\varepsilon > 0$，$L(\varepsilon)$ 与 $K(\varepsilon)$ 均为有限值。
• 最优定义域 $\mathfrak{T}_\varepsilon \setminus B_K(0)$ 对Lipschitz连续性而言是必要且充分的，如洛伦兹Hedlund模型中的反例所示：必须移除 $B_K(0)$ 以避免导数发散。
• 一致vicious性条件确保：在稳定时间锥 $\mathfrak{T}^\circ$ 内部的旋转类中，不存在极限测度时间分离为零的最大不变测度，从而排除了完整基构造的障碍。
• Lipschitz连续性的证明依赖于引理3.4中对切向量的控制，以验证“类时共射线”条件，该方法借鉴了[4]与[2]中的技术并适配至洛伦兹设定。
• 本文建立：任一洛伦兹流形中的因果曲线均可通过因果曲线同伦为分段光滑、未来指向的曲线，且此类曲线的极限仍为未来指向，从而确保类时结构的稳定性。