[论文解读] Augmentations and immersed Lagrangian fillings

Yu Pan, Dan Rutherford|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用 7

一句话总结

该论文证明，对于 $J^1\mathbb{R}$ 或 $J^1S^1$ 中的 Legendrian 链，当 $\r \neq 1$ 时，其任意 $\r$-graded 的增强均可通过浸入的精确拉格朗日子流形填充实现，方法是利用莫尔斯复形族与增强之间的函子性对应。关键结果是：所有此类增强均可通过浸入填充完全实现，推广了经典的嵌入情形，并解决了关于浸入情形下增强到填充对应关系的满射性这一长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

For a Legendrian link $Λ\subset J^1M$ with $M = \mathbb{R}$ or $S^1$, immersed exact Lagrangian fillings $L \subset \mbox{Symp}(J^1M) \cong T^*(\mathbb{R}_{>0} imes M)$ of $Λ$ can be lifted to conical Legendrian fillings $Σ\subset J^1(\mathbb{R}_{>0} imes M)$ of $Λ$. When $Σ$ is embedded, using the version of functoriality for Legendrian contact homology (LCH) from [30], for each augmentation $α: \mathcal{A}(Σ) ightarrow \mathbb{Z}/2$ of the LCH algebra of $Σ$, there is an induced augmentation $ε_{(Σ,α)}: \mathcal{A}(Λ) ightarrow \mathbb{Z}/2$. With $Σ$ fixed, the set of homotopy classes of all such induced augmentations, $I_Σ\subset \mathit{Aug}(Λ)/{\sim}$, is a Legendrian isotopy invariant of $Σ$. We establish methods to compute $I_Σ$ based on the correspondence between Morse complex families and augmentations. This includes developing a functoriality for the cellular DGA from [31] with respect to Legendrian cobordisms, and proving its equivalence to the functoriality for LCH. For arbitrary $n \geq 1$, we give examples of Legendrian torus knots with $2n$ distinct conical Legendrian fillings distinguished by their induced augmentation sets. We prove that when $ρ eq 1$ and $Λ\subset J^1\mathbb{R}$ every $ρ$-graded augmentation of $Λ$ can be induced in this manner by an immersed Lagrangian filling. Alternatively, this is viewed as a computation of cobordism classes for an appropriate notion of $ρ$-graded augmented Legendrian cobordism.

研究动机与目标

• 确定哪些 $\r$-graded 的 Legendrian 链增强可源自浸入的精确拉格朗日子流形填充。
• 通过锥形 Legendrian 填充，将 Legendrian 接触同调（LCH）的函子性扩展至浸入的拉格朗日钴德里姆斯。
• 构建莫尔斯复形族与增强之间的对应关系，以计算诱导增强集合。
• 解决所有增强是否均可通过浸入填充实现的问题，特别是针对非可定向或奇异填充的情形。
• 为 Legendrian 椰子纽结及其他例子，提供浸入填充所诱导增强的完整分类。

提出的方法

• 将浸入的精确拉格朗日子流形填充 $L \subset \mathrm{Symp}(J^1M)$ 提升为锥形 Legendrian 钴德里姆斯 $\Sigma \subset J^1(\mathbb{R}_{>0} \times M)$，其中 $L$ 的自交点对应于 $\Sigma$ 的 Reeb 弦。
• 利用 [33] 中关于 Legendrian 钴德里姆斯的胞腔 DGA 的函子性，定义 DGA 映射 $f_\Sigma: \mathcal{A}(\Lambda_+) \to \mathcal{A}(\Sigma)$ 与包含映射 $i_\Sigma: \mathcal{A}(\Lambda_-) \to \mathcal{A}(\Sigma)$。
• 对每个锥形 Legendrian 填充 $\Sigma$ 的增强 $\alpha: \mathcal{A}(\Sigma) \to \mathbb{Z}/2$，定义诱导增强 $\epsilon_{(\Sigma,\alpha)} = \alpha \circ f_\Sigma$。
• 通过与莫尔斯复形族的对应关系，建立胞腔 DGA 的函子性与标准 Legendrian 接触同调（LCH）函子性之间的等价性。
• 利用莫尔斯复形族（MCFs）计算诱导增强集合 $I_\Sigma \subset \mathrm{Aug}(\Lambda)/{\sim}$，该集合是 $\Sigma$ 的 Legendrian 同伦不变量。
• 应用 Reidemeister 变换、尖点相切移动和压紧移动，对 DGA 中的词进行约化，并通过关于交叉数的递归归纳法验证其在同伦下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $J^1\mathbb{R}$ 中的 Legendrian 链 $\Lambda$，哪些 $\r$-graded 增强可源自浸入的精确拉格朗日子流形填充的诱导增强？
• RQ2 当 $\r \neq 1$ 时，从浸入拉格朗日子流形到诱导增强的映射是否对所有 $\r$-graded 增强都是满射？
• RQ3 是否每个 $\r$-graded 增强都可通过具有相容 Maslov 潜势和增强的锥形 Legendrian 填充实现？
• RQ4 莫尔斯复形族如何与胞腔 DGA 的函子性及诱导增强集合相关联？
• RQ5 对于固定的锥形 Legendrian 填充 $\Sigma$，诱导增强集合 $I_\Sigma$ 的结构是什么？

主要发现

• 对于任意 $\r \neq 1$ 的 Legendrian 链 $\Lambda \subset J^1\mathbb{R}$，其任意 $\r$-graded 增强 $\epsilon: \mathcal{A}(\Lambda) \to \mathbb{Z}/2$ 均可表示为 $\epsilon_{(\Sigma,\alpha)} = \alpha \circ f_\Sigma$，其中 $\Sigma$ 为某个锥形 Legendrian 填充，$\alpha$ 为 $\mathcal{A}(\Sigma)$ 的增强。
• 当 $\r$ 为偶数时，可选取一个可定向的锥形 Legendrian 填充 $\Sigma$ 来实现任意给定的增强。
• 当 $\r = 1$ 时，每个 $1$-graded 增强均可由一个锥形 Legendrian 钴德里姆斯 $\Sigma: U \to \Lambda$ 实现，其中 $U$ 为标准 Legendrian 单圈纽结且 $\mathrm{tb}(U) = -1$，并配以 $\mathcal{A}(\Sigma)$ 的 $1$-graded 增强。
• $I\Sigma$ 中诱导增强的同伦类集合是锥形 Legendrian 填充 $\Sigma$ 的 Legendrian 同伦不变量，且该集合可区分最多 $2n$ 个不同的锥形 Legendrian 填充，适用于 Legendrian 椰子纽结。
• 该论文构建了一套完整的移动系统（包括 I、II、III 型 Reidemeister 移动、尖点相切移动和压紧移动），可将任意 DGA 词约化为标准形式，从而证明诱导增强集合在 Legendrian 同伦下的不变性。
• 莫尔斯复形族与增强之间的对应关系提供了一个计算 $I_\Sigma$ 的计算框架，且该框架与浸入钴德里姆斯的标准化 LCH 函子性等价。