[论文解读] Augmented Lagrangian for treatment of hanging nodes in hexahedral meshes

Saumik Dana|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文提出一种增广拉格朗日方法，用于处理六面体有限元网格中的悬挂节点，实现跨界面的激进网格粗化，同时不损害约束精度。通过迭代更新拉格朗日乘子，该方法避免了罚方法带来的病态问题，并且无论罚参数如何选择，均能保持稳定性和准确性。

ABSTRACT

The surge of activity in the resolution of fine scale features in the field of earth sciences over the past decade necessitates the development of robust yet simple algorithms that can tackle the various drawbacks of in silico models developed hitherto. One such drawback is that of the restrictive computational cost of finite element method in rendering resolutions to the fine scale features, while at the same time keeping the domain being modeled sufficiently large. We propose the use of the augmented lagrangian method commonly used in the treatment of hanging nodes in contact mechanics in tackling the drawback. An interface is introduced in a typical finite element mesh across which an aggressive coarsening of the finite elements is possible. The method is based upon minimizing an augmented potential energy which factors in the constraint that exists at the hanging nodes on that interface. This allows for a significant reduction in the number of finite elements comprising the mesh with concomitant reduction in the computational expense.

研究动机与目标

• 解决在大域中建模细观地质力学特征时，统一使用细密网格导致的计算低效问题。
• 克服先前方法中力学网格必须相对于流动网格统一更粗的局限性。
• 通过允许六面体单元中存在悬挂节点，实现跨界面的任意网格加密。
• 开发一种稳定且精确的方法，用于在不增加系统自由度的前提下强制执行悬挂节点界面的约束。

提出的方法

• 将问题表述为在悬挂节点处施加几何约束下最小化增广势能泛函。
• 采用增广拉格朗日方法，通过迭代更新的拉格朗日乘子来强制约束，避免将乘子作为独立自由度求解。
• 引入与约束违反平方成比例的罚项，确保收敛至精确的约束满足。
• 通过从物理坐标到参考单元坐标系的变换，计算梯度并在非仿射六面体单元上强制执行约束。
• 使用奇异值分解（SVD）确定约束矩阵的零空间，并从顶点坐标计算六面体单元面的面方程。
• 利用等参数映射的雅可比矩阵的逆，推导出物理空间中面方程的梯度。

实验结果

研究问题

• RQ1 增广拉格朗日方法能否有效应用于处理六面体有限元网格中的悬挂节点，以实现自适应网格加密？
• RQ2 与罚方法和标准拉格朗日方法相比，增广拉格朗日公式在悬挂节点约束的稳定性与准确性方面表现如何？
• RQ3 该方法是否能在不依赖罚参数值的情况下，保持解的精度与条件数？
• RQ4 是否可能在不向系统中引入额外自由度的前提下，强制执行悬挂节点处的约束？
• RQ5 如何在非仿射六面体单元中准确表示与计算悬挂节点界面的几何约束？

主要发现

• 增广拉格朗日公式可在不增加自由度数量的前提下实现精确的约束满足，而标准拉格朗日方法则不能。
• 该方法对罚参数具有无条件稳定性，避免了纯罚方法中常见的病态问题。
• 拉格朗日乘子的收敛值独立于罚参数，确保了鲁棒的收敛性。
• 该方法支持在界面处进行激进的网格粗化，显著减少了单元数量与计算成本。
• 通过SVD与坐标变换推导出的三线性面方程，可准确表示悬挂节点处的几何约束。
• 通过利用等参数映射的雅可比矩阵的逆计算物理空间中的梯度，该方法支持非仿射六面体单元。