[论文解读] Augmented virtual double categories

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文引入了增强型虚拟双范畴，通过允许水平目标为空的细胞，扩展了虚拟双范畴。它表明，此类结构自然地通过水平单位支持‘局部小对象’的概念，且带有单位的增强型虚拟双范畴与带有单位的虚拟双范畴等价，从而在形式范畴论中实现更简洁的证明和更广泛的应用。

ABSTRACT

In this article the notion of virtual double category (also known as fc-multicategory) is extended as follows. While cells in a virtual double category classically have a horizontal multi-source and single horizontal target, the notion of augmented virtual double category introduced here extends the latter notion by including cells with empty horizontal target as well. Any augmented virtual double category comes with a built-in notion of "locally small object" and we describe advantages of using augmented virtual double categories as a setting for formal category rather than 2-categories, which are classically equipped with a notion of "admissible object" by means of a yoneda structure in the sense of Street and Walters. An object is locally small precisely if it admits a horizontal unit, and we show that the notions of augmented virtual double category and virtual double category coincide in the presence of all horizontal units. Without assuming the existence of horizontal units we show that most of the basic theory for virtual double categories, such as that of restriction and composition of horizontal morphisms, extends to augmented virtual double categories. We introduce and study in augmented virtual double categories the notion of "pointwise" composition of horizontal morphisms, which formalises the classical composition of profunctors given by the coend formula.

研究动机与目标

• 通过允许具有空水平目标的细胞，扩展虚拟双范畴的理论，引入增强型虚拟双范畴这一新结构。
• 确立在增强型虚拟双范畴中，局部小对象恰好对应于存在水平单位的那些对象。
• 证明虚拟双范畴的基础理论——如水平态射的限制与复合——可扩展至增强型设定。
• 通过类似共轭积的公式，形式化水平态射的‘逐点’复合，推广范畴论中的函子复合。
• 证明带有单位的增强型虚拟双范畴与带有单位的虚拟双范畴在范畴论上等价，统一了两种现有框架。

提出的方法

• 将增强型虚拟双范畴定义为包含空水平目标细胞的虚拟双范畴的推广。
• 引入‘局部小对象’的概念，即存在水平单位细胞的对象，将其与表示性及Yoneda结构联系起来。
• 将水平态射的限制与复合理论推广至增强型设定，保持关键性质不变。
• 通过满足类似共轭积通用性质的通用细胞，形式化‘逐点’水平复合。
• 构造一个严格2-函子 N: VirtDblCatu → AugVirtDblCatu，将带有单位的虚拟双范畴映射为其增强形式。
• 证明 N 与遗忘函子 U: AugVirtDblCat → VirtDblCat 的复合自然同构于恒等函子，从而确立2-范畴等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将虚拟双范畴的概念扩展，以包含具有空水平目标的细胞？
• RQ2 在增强型虚拟双范畴的背景下，存在水平单位的对象具有何种范畴论意义？
• RQ3 虚拟双范畴的基础理论——如限制与复合——在多大程度上可推广至增强型虚拟双范畴？
• RQ4 增强型虚拟双范畴中水平态射的‘逐点’复合如何通过共轭积公式形式化经典函子复合？
• RQ5 带有单位的增强型虚拟双范畴与带有单位的虚拟双范畴之间存在何种关系？它们是否范畴等价？

主要发现

• 增强型虚拟双范畴通过包含空水平目标的细胞，扩展了虚拟双范畴，使得垂直态射自然形成一个2-范畴，处理更加自然。
• 一个对象是局部小的，当且仅当它存在一个水平单位，从而建立了局部小性的直接范畴刻画。
• 即使不假设存在水平单位，水平态射的限制与复合的基本理论仍可推广至增强型虚拟双范畴。
• ‘逐点’水平复合的概念通过满足通用性质的通用细胞得以形式化，推广了经典函子复合的共轭积公式。
• 带有单位的增强型虚拟双范畴与带有单位的虚拟双范畴在范畴论上等价，且存在严格2-函子 N: VirtDblCatu → AugVirtDblCatu 实现该等价。
• 该等价通过严格2-函子 N 与一个2-自然同构 τ: id ≅ N∘U 实现，表明增强框架包含了并简化了经典带有单位的情形。