[论文解读] Automatic Continuity of $σ$-Derivations on $C^*$-Algebras

Madjid Mirzavaziri, Mohammad Sal Moslehian|Aug 1, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用 8

一句话总结

该论文建立了C*-代数上σ-导子的自动连续性：若σ是连续∗-线性映射，则其取值于B(H)的任意σ-导子自动连续。核心贡献推广了Sakai关于导子的定理，并证明了连续∗-σ-导子可通过一个典范构造从连续∗-同态导出，将自动连续性推广至作用于希尔伯特空间上的C*-代数的广义导子。

ABSTRACT

Let $A$ be a $C^*$-algebra acting on a Hilbert space $H$, $σ:A o B(H)$ be a linear mapping and $d:A o B(H)$ be a $σ$-derivation. Generalizing the celebrated theorem of Sakai, we prove that if $σ$ is a continuous $*$-mapping then $d$ is automatically continuous. In addition, we show the converse is true in the sense that if $d$ is a continuous $*-σ$-derivation then there exists a continuous linear mapping $Σ:A o B(H)$ such that $d$ is $*-Σ$-derivation. The continuity of the so-called $*-(σ,τ)$-derivations is also discussed.

研究动机与目标

• 将Sakai关于导子自动连续性的定理推广至C*-代数上的σ-导子。
• 研究当σ为从A到B(H)的连续∗-线性映射时，σ-导子的连续性。
• 建立一个逆定理：若∗-σ-导子连续，则其可由连续∗-同态导出。
• 将理论扩展至∗-(σ,τ)-导子，并在σ和τ连续的假设下证明其自动连续性。

提出的方法

• 利用线性算子T的分离空间S(T)来分析σ-导子的连续性。
• 应用引理2.3，表明若d不连续，则σ必须在分离空间上不保持乘法。
• 构造一个到d的像的闭包的投影P，以将d与更大代数上的导子D联系起来。
• 利用闭图像定理，证明d连续当且仅当其分离空间是平凡的。
• 利用C*-代数的结构以及σ为∗-线性这一事实，将问题约化为普通导子的情形。
• 应用Ringrose关于取值于Banach双模的导子连续性的定理，得出自动连续性结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，C*-代数上的σ-导子是自动连续的？
• RQ2 Sakai定理的逆命题能否对σ-导子成立：若∗-σ-导子连续，其是否可由连续∗-同态导出？
• RQ3 ∗-(σ,τ)-导子与σ-导子之间有何关系？自动连续性是否可推广至该类？
• RQ4 σ的连续性如何影响相关C*-代数上σ-导子的连续性？
• RQ5 σ-导子理论能否用于建模量子系统或复动力系统中的形变？

主要发现

• 若σ是C*-代数A到B(H)的连续∗-线性映射，则每个σ-导子d: A → B(H)自动连续。
• 对每个连续∗-σ-导子d，存在一个连续∗-同态Σ: A → B(H)，使得d是∗-Σ-导子。
• 即使σ不是同态，只要其连续且为∗-线性，σ-导子的自动连续性依然成立。
• 若σ和τ是连续∗-线性映射，则C*-代数上的每个∗-(σ,τ)-导子自动连续。
• 通过将d(A)的闭包上投影构造导子D和同态Σ，可确保D连续当且仅当d连续。
• 该结果将Sakai关于导子的定理推广至更广义的广义导子类，统一并推广了文献中先前的结果。