[论文解读] Automatic continuity of derivations on C*-algebras and JB*-triples

Antonio M. Peralta, Bernard Russo|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文通过引入Jordan三重模并证明从实或复JB*-三重代数到其对偶空间的每个导子都是连续的，建立了C*-代数和JB*-三重代数上导子的自动连续性。关键结果解决了两个长期悬而未决的问题：从C*-代数到Banach双模或Jordan模的每个Jordan导子都是自动连续的，因此根据Johnson定理，它也是一个导子。

ABSTRACT

We introduce the notion of a Jordan triple module and determine the precise conditions under which every derivation from a JB*-triple E into a Banach (Jordan) triple E-module is continuous. In particular, every derivation from a real or complex JB*-triple into its dual space is automatically continuous. Among the consequences, we prove that every triple derivation from a C*-algebra A to a Banach triple A-module is continuous. In particular, every Jordan derivation from A to a Banach A-bimodule is a derivation, a result which complements a classical theorem due to B.E. Johnson and solves a problem which has remained open for over ten years.

研究动机与目标

• 解决C*-代数到Banach双模的每个Jordan导子是否自动连续这一开放问题。
• 将自动连续性的框架推广到Jordan三重模和JB*-三重代数。
• 证明从JB*-三重代数到其对偶空间的每个导子都是连续的，为未来关于弱可乘性的研究提供支持。
• 统一并扩展非结合与非交换算子代数中自动连续性的先前结果。
• 提供一种新的、通用的三重模框架，该框架涵盖了结合代数和Jordan代数的情形。

提出的方法

• 引入Jordan三重模的概念，作为Jordan代数和C*-代数上Banach模的推广。
• 将JB*-三重代数$E$上的导子定义为满足对所有$a,b,c \in E$有$\delta\{a,b,c\} = \{\delta(a),b,c\} + \{a,\delta(b),c\} + \{a,b,\delta(c)\}$的线性映射$\delta$。
• 应用Cuntz定理（引理19）证明：若一个线性泛函在所有自伴$h$的阿贝尔C*-子代数$C(h)$上连续，则它在整个代数上连续。
• 将三重导子$\delta$限制到阿贝尔C*-子代数$C(h)$上，根据命题18，此时它是一个连续映射。
• 利用一致有界原理和Cuntz定理，从$\delta$在每个$C(h)$上的连续性推导出其在整个空间上的全局连续性。
• 将结果应用于证明：从C*-代数到Banach模的每个Jordan导子都是连续的，利用Jordan导子即为三重导子的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 从C*-代数到Banach双模的每个Jordan导子是否都是自动连续的？
• RQ2 从JB*-三重代数到其对偶空间的每个导子是否满足自动连续性？
• RQ3 是否可以在Jordan三重模的更广泛框架下建立导子的自动连续性？
• RQ4 什么条件能确保从JB*-三重代数到Banach三重模的导子是连续的？
• RQ5 Johnson定理中关于连续Jordan导子即为导子的结论是否可以去除有界性假设而得到加强？

主要发现

• 从实或复JB*-三重代数到其对偶空间的每个导子都是自动连续的。
• 从C*-代数$A$到Banach三重$A$-模的每个三重导子都是连续的，通过限制到阿贝尔子代数$C(h)$得以证明。
• 从C*-代数到Jordan Banach $A$-模的每个Jordan导子都是连续的，解决了问题2。
• 从C*-代数到Banach $A$-双模的每个Jordan导子都是连续的，解决了问题1，并根据Johnson定理可知它是一个导子。
• 线性映射$\delta: A \to X$的连续性等价于其在每个自伴$h$的阿贝尔C*-子代数$C(h)$上的连续性，根据Cuntz定理。
• Banach（Jordan）三重模类统一了结合代数、Jordan代数和三重系统中导子的处理方式，为自动连续性提供了通用框架。