[论文解读] Automatic Counting of Restricted Dyck Paths via (Numeric and Symbolic) Dynamic Programming

Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文提出了一种系统性方法，通过数值与符号动态规划自动枚举受限的Dyck路径。引入了两个Maple程序包Dyck.txt和DyckClever.txt，用于生成序列，并推导出避免特定运行长度或峰/谷高度约束的Dyck路径的代数生成函数与线性递推关系，从而通过KISS原则实现枚举公式的自动化发现。

ABSTRACT

Dyck paths are one of the most important objects in enumerative combinatorics, and there are many papers devoted to counting selected families of Dyck paths. Here we present two approaches for the automatic counting of many such families, using both a "dumb" approach (driven by numeric dynamic programming) that often works in practice, and a "clever" approach, needed for larger problems, driven by "symbolic" dynamic programming. Both approaches are fully automated and implemented in Maple.

研究动机与目标

• 自动化枚举在各种限制条件下的Dyck路径，例如禁止的运行长度或峰/谷高度约束。
• 证明‘保持简单，愚蠢’（KISS）原则能够从初始序列项中可靠地识别出模式，即使概念性证明复杂。
• 开发一个通用的计算框架，通过教会计算机递归地推理路径结构，减少对手动组合洞察的依赖。
• 将自动枚举的范围从有限限制扩展到通过等差数列表示的无限禁止模式集合。
• 提供一个符号动态规划引擎，推导出生成函数的精确代数方程，从而严格验证猜测的公式。

提出的方法

• 通过Dyck.txt进行数值动态规划，通过递归计数在给定约束下有效Dyck路径，生成序列的大量初始项。
• 通过DyckClever.txt进行符号动态规划，通过使用符号变量建模递归路径分解，构建生成函数的代数方程。
• 该方法将Dyck路径建模为具有受限运行长度（上升或下降）和峰/谷高度条件的子路径组合。
• 基于Dyck路径的第一步推导出递归函数方程，根据初始运行是上升还是下降来区分情况。
• 通过将无限集合的禁止运行长度表示为等差数列（例如{2r+1}表示奇数长度），系统可处理这些情况，实现符号化处理。
• 通过递归分解推导出生成函数方程：例如，H_{C,C1,D,D1}(x) = x * h_{C,C2,D,D2}(x)，或在排除特定小运行时使用减法规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否自动计算避免某些运行长度（例如无长度为2的上升运行或长度为3的下降运行）的Dyck路径数量，并推导其生成函数？
• RQ2 在组合枚举中，‘KISS原则’——即从初始序列项猜测公式——能在多大程度上实现严格化与自动化？
• RQ3 能否使用符号动态规划推导出具有复杂限制（如禁止峰高或运行长度）的Dyck路径的生成函数的精确代数方程？
• RQ4 如何在动态规划框架内算法化地编码与处理无限家族的禁止模式（例如所有奇数长度的上升运行）？
• RQ5 该方法能否推广至同时避免禁止子词、运行长度与高度约束的Dyck路径？

主要发现

• Maple程序包Dyck.txt成功计算了避免禁止运行长度的Dyck路径序列的前100项，使可靠模式猜测成为可能。
• 对于避免长度为2的上升运行和长度为3的下降运行的Dyck路径，其生成函数满足关于P的10次代数方程，系数为x的多项式。
• 系统正确推导出所有峰高属于{1} ∪ 偶数的Dyck路径满足Motzkin递推关系，通过自动化手段证实了Retakh的猜想。
• 通过DyckClever.txt的符号方法可处理无限集合的禁止运行长度，例如所有奇数长度的上升运行，得到生成函数方程：1 + (−x + 1)P + x²(x − 1)P³ = 0。
• 该方法可推广至避免任意有限或无限集合的禁止子词，包括禁止运行长度与高度约束的组合。
• 该方法成功推导出避免所有奇数长度上升运行和所有偶数长度下降运行的Dyck路径的生成函数方程，得到关于P的6次代数方程。