[论文解读] Automatic quasiconvexity of homogeneous isotropic rank-one convex integrands

André Guerra, Jan Kristensen|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2021

Optimization and Variational Analysis参考文献 70被引用 4

一句话总结

该论文在假设 Burkholder 积分核 Bp 是拟凸的前提下，证明了在 R²×² 上，非负、各向同性、秩-一凸、p-齐次的积分核在共形矩阵处是拟凸的（当 p ≤ 2 时），且在 p ≥ 2 时是多凸的。关键贡献在于：Bp 的拟凸性可推出整个类的拟凸性，且当 p ≥ 2 时，Bp 的正部是多凸的。

ABSTRACT

We consider the class of non-negative rank-one convex isotropic integrands on $\mathbb{R}^{n imes n}$ which are also positively $p$-homogeneous. If $p \leq n = 2$ we prove, conditional on the quasiconvexity of the Burkholder integrand, that the integrands in this class are quasiconvex at conformal matrices. If $p \geq n = 2$, we show that the positive part of the Burkholder integrand is polyconvex. In general, for $p \geq n$, we prove that the integrands in the above class are polyconvex at conformal matrices. Several examples imply that our results are all nearly optimal.

研究动机与目标

• 研究在假设 Burkholder 积分核 Bp 拟凸的前提下，非负、各向同性、p-齐次的积分核在 R²×² 上的秩-一凸性是否蕴含拟凸性。
• 确定此类积分核在共形矩阵处的拟凸性与多凸性状态。
• 建立 Burkholder 积分核 Bp 的拟凸性足以推出整个类的拟凸性。
• 分析当 p ≥ 2 时，Burkholder 积分核 B⁺p 的正部的多凸性。
• 通过微分与对偶运算，推导相关积分核的性质。

提出的方法

• 利用 R²×² 上各向同性、p-齐次、秩-一凸积分核的结构，将问题简化为分析一个函数 h(t, d)，该函数以算子范数和行列式为变量编码积分核。
• 通过变量替换，将积分核表示为 t = |A| 和 d = det A 的函数，定义在 S ⊂ R⁺ × R 的区域上，形成函数 h(t, d)。
• 分析正部 h⁺(t, d)，通过考察其在线段上的行为并利用 h⁺ > 0 的集合的相对开性，证明其凸性。
• 通过支持仿射函数不等式建立拟凸性，利用二维中 |A⁻| 和 det A 的凸性。
• 在 n=3 维中构造反例，表明当 p > 3 时 B⁺p 不是多凸的，从而证明结果在此方向是紧的。
• 对 p=2 时的 B⁺p 家族应用对偶与微分，通过变换 F ↦ F(A⁻¹)det A，得到一个新的多凸积分核 cB♯。

实验结果

研究问题

• RQ1 在假设 Burkholder 积分核 Bp 拟凸的前提下，当 p ≤ 2 时，非负、各向同性、p-齐次的积分核在 R²×² 上的秩-一凸性是否蕴含拟凸性？
• RQ2 在二维中，当 p ≥ 2 时，Burkholder 积分核 B⁺p 的正部是否是多凸的？
• RQ3 Burkholder 积分核 Bp 的拟凸性是否足以推出更广泛类别的积分核的拟凸性？
• RQ4 该结果是否最优？能否推广至更高维或不同齐次度？
• RQ5 对 B⁺p 在 p=2 处求导后得到的积分核结构如何？其是否为多凸？

主要发现

• 当 p ≤ 2 时，R²×² 上非负、各向同性、秩-一凸、p-齐次的积分核类在共形矩阵处是拟凸的，前提是 Burkholder 积分核 Bp 是拟凸的。
• 当 p ≥ 2 时，Burkholder 积分核 B⁺p 的正部在 R²×² 上是多凸的。
• 在 n=3 维中，当 p > 3 时 B⁺p 不是多凸的，表明该结果在此方向是紧的。
• 函数 h⁺(t, d)（以 |A| 和 det A 表示的积分核）在其定义域上是凸的，从而支持了多凸性的证明。
• 对 B⁺p 在 p=2 处求导，得到新积分核 B♯(A) = 1/2(|A|² + det A log|A|²)，该积分核是多凸的。
• 对 B♯ 应用对偶对合 F ↦ F(A⁻¹)det A，得到 cB♯(A) = 1/2(|A|²/det A + log(|A|²/det A) - log det A)，该积分核也是多凸的。