[论文解读] Automatic rational approximation and linearization of nonlinear eigenvalue problems

Pieter Lietaert, Javier J. Pérez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种用于非线性特征值问题的自动有理逼近方法，利用AAA算法构建有理插值函数，并通过与紧凑有理Krylov方法兼容的状态空间公式对结果进行线性化。该方法在极少数极点下实现了与NLEIGS相当的精度，且无需用户定义极点选择，从而实现了仅需极少用户输入的大型问题高效求解。

ABSTRACT

We present a method for solving nonlinear eigenvalue problems using rational approximation. The method uses the AAA method by Nakatsukasa, S\\`{e}te, and Trefethen to approximate the nonlinear eigenvalue problem by a rational eigenvalue problem and is embedded in the state space representation of a rational polynomial by Su and Bai. The advantage of the method, compared to related techniques such as NLEIGS and infinite Arnoldi, is the efficient computation by an automatic procedure. In addition, a set-valued approach is developed that allows building a low degree rational approximation of a nonlinear eigenvalue problem. The method perfectly fits the framework of the Compact rational Krylov methods (CORK and TS-CORK), allowing to efficiently solve large scale nonlinear eigenvalue problems. Numerical examples show that the presented framework is competitive with NLEIGS and usually produces smaller linearizations with the same accuracy but with less effort for the user.

研究动机与目标

• 开发一种完全自动化的非线性特征值问题有理逼近方法，无需用户具备复分析知识或对特定函数进行调优。
• 与现有方法（如NLEIGS）相比，显著减少有理逼近中的极点数量，尤其适用于含多个非线性项的问题。
• 将有理逼近与紧凑有理Krylov（CORK）框架集成，以实现大规模特征值计算的高效求解。
• 在不假设系数矩阵具有低秩结构的前提下，利用矩阵函数中的低秩结构。
• 证明基于集合的有理逼近（使用AAA）在逼近次数与收敛性方面优于单个逼近及基于势论的方法。

提出的方法

• 利用AAA算法在用户定义的集合上自动计算非线性矩阵函数的有理逼近，自适应调整极点与零点位置，无需用户输入。
• 应用Su与Bai（2011）提出的状态空间表示，将所得有理特征值问题线性化为适合Krylov求解器的标准形式。
• 采用集合值逼近策略，使多个非线性函数共享极点与插值点，提升效率并降低总逼近次数。
• 将线性化问题嵌入CORK（紧凑有理Krylov）框架中，通过有理Krylov回收实现大规模问题的高效求解。
• 对满秩与低秩系数矩阵均采用相同的线性化结构，当存在低秩结构时可有效利用。
• 在实轴上使用多个位移的Krylov方法计算Ritz值，并将残差范数收敛至10−12作为停止准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 AAA算法能否在无需领域专业知识或手动极点选择的情况下，有效用于非线性特征值问题的自动有理逼近？
• RQ2 在含多个非线性函数的问题中，基于AAA的集合值有理逼近在逼近次数与收敛性方面与NLEIGS相比表现如何？
• RQ3 CORK框架在多大程度上可被用于高效求解由有理逼近产生的大规模非线性特征值问题？
• RQ4 与基于势论的方法（如Leja–Bagby）相比，所提方法是否在使用更少极点的同时仍保持高精度？
• RQ5 该方法在具有复杂数奇点（如具有分支点与无界行为的汽车空腔模型）的实际问题中表现如何？

主要发现

• 对于汽车空腔问题，基于AAA的有理逼近在存在奇点与分支切割的情况下，仅用42个极点即达到10−13的相对误差。
• 在第一个奇点514i以下的较小测试区域内，AAA仅需11个极点即可达到10−12精度，优于Leja–Bagby方法所需的40个极点。
• Ritz值的收敛性在AAA与Leja–Bagby方法间表现相近，两者均在约30–40次Krylov迭代后实现残差范数低于10−12。
• 在所有测试案例中，集合值AAA方法生成的有理逼近均小于NLEIGS，且未造成精度下降。
• 与NLEIGS相比，该方法显著减少了用户工作量，因为AAA算法完全自动化了极点与插值点的选择。
• 通过Su与Bai的状态空间公式实现的线性化与CORK框架完全兼容，从而实现了大规模问题的高效求解。