[论文解读] Automatic shape derivatives for transient PDEs in FEniCS and Firedrake

Jørgen S. Dokken, Sebastian K. Mitusch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 29被引用 18

一句话总结

该论文提出了一种在 FEniCS 和 Firedrake 中实现的高级算法微分框架，可自动计算时间依赖、非线性偏微分方程在固定域与变形域上的的一阶和二阶形状微分。通过扩展 dolfin-adjoint 以通过变分形式的符号运算追踪网格变化，该方法实现了高效、离散一致的形状优化，并通过泰勒测试验证了收敛性。

ABSTRACT

In industry, shape optimization problems are of utter importance when designing structures such as aircraft, automobiles and turbines. For many of these applications, the structure changes over time, with a prescribed or non-prescribed movement. Therefore, it is important to capture these features in simulations when optimizing the design of the structure. Using gradient based algorithms, deriving the shape derivative manually can become very complex and error prone, especially in the case of time-dependent non-linear partial differential equations. To ease this burden, we present a high-level algorithmic differentiation tool that automatically computes first and second order shape derivatives for partial differential equations posed in the finite element frameworks FEniCS and Firedrake. The first order shape derivatives are computed using the adjoint method, while the second order shape derivatives are computed using a combination of the tangent linear method and the adjoint method. The adjoint and tangent linear equations are symbolically derived for any sequence of variational forms. As a consequence our methodology works for a wide range of PDE problems and is discretely consistent. We illustrate the generality of our framework by presenting several examples, spanning the range of linear, non-linear and time-dependent PDEs for both stationary and transient domains.

研究动机与目标

• 在有限元框架中自动化计算时间依赖、非线性 PDE 的形状微分。
• 在形状优化问题中同时支持固定域与瞬态（变形）域。
• 将高级算法微分扩展至处理依赖网格的变分形式，实现离散一致性。
• 通过泰勒测试验证计算得到的形状微分的准确性，涵盖一阶与二阶微分。
• 展示该框架在线性、非线性及时间依赖 PDE 上的通用性，且仅需极少的代码开销。

提出的方法

• 该框架通过重载 FEniCS/Firedrake 中的 Mesh 类和汇编例程，扩展 dolfin-adjoint 以追踪网格变形。
• 一阶形状微分通过伴随法计算，求解单个与形状参数数量无关的伴随 PDE。
• 二阶形状微分通过切向线性法与伴随法的结合计算，支持 Hessian 矩阵的生成。
• 该方法利用 UFL 对变分形式进行符号运算，结合 Gâteaux 微分与参考单元上的回拉变换，实现对网格敏感性的分析。
• 计算图包含网格参数，支持通过网格几何变化实现自动微分。
• 该框架继承了高级 AD 的性能优势，包括接近最优的内存使用和原生并行化支持。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将高级算法微分扩展至在 FEniCS 和 Firedrake 中计算具有移动域的时间依赖 PDE 的形状微分？
• RQ2 如何通过符号变分形式高效且准确地计算非线性瞬态 PDE 的一阶与二阶形状微分？
• RQ3 通过泰勒展开验证时，计算得到的形状微分的收敛行为如何？
• RQ4 在复杂非线性 PDE 中，形状微分计算的计算成本与前向问题相比如何？
• RQ5 在对依赖网格的变分形式求导时，该框架在多大程度上保持了离散一致性？

主要发现

• 一阶形状微分在泰勒测试中达到约 1.00 的收敛率，确认了其正确性。
• 二阶形状微分的一阶微分项收敛率为 2.00，二阶微分项收敛率为 2.99–3.12，确认了二阶精度。
• 一阶微分的伴随求解耗时 312.00 秒，快于前向求解的 465.34 秒，原因在于非线性前向问题在每个时间步需约 2 次牛顿迭代。
• 二阶微分计算耗时 807.52 秒，为前向求解时间的 1.74 倍，尽管复杂度更高，但仍表现出良好的可扩展性。
• 整个形状微分框架仅需额外 7 行代码，网格变形实现仅用 26 行代码，体现了极低的代码侵入性。
• 该框架成功处理了包含 14,808 个自由度的复杂纳维-斯托克斯问题，证明了其在真实工业问题中的适用性。