[论文解读] Automatic Theorem Proving in Walnut

Mousavi, Hamoon|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2016

semigroups and automata theory参考文献 13被引用 54

一句话总结

本论文提出 Walnut，一个软件系统，通过有限自动机和 Presburger 算术，实现了一种机械化的决策过程，用于验证自动词的组合性质。该系统使用户能够通过编码逻辑谓词、利用自动机进行算术与词操作，并通过命令行界面进行求值、定义和证明自动化，从而自动证明关于 Thue-Morse 词和纸风琴词等序列的定理。

ABSTRACT

Automatic structures are structures whose universe and relations can be represented as regular languages. It follows from the standard closure properties of regular languages that the first-order theory of an automatic structure is decidable. While existential quantifiers can be eliminated in linear time by application of a homomorphism, universal quantifiers are commonly eliminated via the identity ∀x.Φ≡¬(∃x.¬Φ). If Φ is represented in the standard way as an NFA, a priori this approach results in a doubly exponential blow-up. However, the recent literature has shown that there are classes of automatic structures for which universal quantifiers can be eliminated by different means without this blow-up by treating them as first-class citizens and not resorting to double complementation. While existing lower bounds for some classes of automatic structures show that a singly exponential blow-up is unavoidable when eliminating a universal quantifier, it is not known whether there may be better approaches that avoid the naïve doubly exponential blow-up, perhaps at least in restricted settings. In this paper, we answer this question negatively and show that there is a family of NFA representing automatic relations for which the minimal NFA recognising the language after eliminating a single universal quantifier is doubly exponential, and deciding whether this language is empty is ExpSpace-complete.

研究动机与目标

• 为研究人员提供一个实用且易用的工具，以自动验证自动序列的组合性质。
• 通过基于自动机的索引和调用机制，将 Presburger 算术扩展以支持自动词。
• 实现一个完整的软件栈，包括解析、自动机构造和最小化，用于词组合数学中的机械定理证明。
• 使用户能够通过领域特定命令语言定义自定义数系、自动词和谓词。
• 通过用户自定义自动机、数系以及与 Graphviz 等外部工具的集成，支持可扩展性，实现可视化。

提出的方法

• 使用有限自动机表示自动词上的谓词，其中状态编码逻辑条件，转移编码词的结构。
• 采用积自动机构造方法组合子谓词的自动机，支持合取和量化等逻辑操作。
• 引入语义规则用于表达式的索引和调用，将 Presburger 算术扩展以处理自动序列。
• 实现命令行界面，提供高级命令如 `eval`、`def`、`macro`、`reg` 和 `load`，支持交互式定理证明。
• 通过具有结构化语法的文本文件支持用户自定义自动机，包括输入、输出和转移，支持通配符和死状态。
• 利用 Valmari 的最小化算法和 Graphviz 集成，实现高效的态数缩减和自动机可视化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地实现一种决策过程，利用有限自动机验证自动词的性质？
• RQ2 为支持对自动序列的索引和调用操作，Presburger 算术需要哪些语义扩展？
• RQ3 如何设计一个用户可扩展的系统，以支持自定义数系、自动词和逻辑谓词？
• RQ4 自动机构造和正则表达式编译在确保性能和正确性方面起什么作用？
• RQ5 如何使该系统对组合数学领域的研究人员既友好又形式上可靠？

主要发现

• Walnut 有效自动化了对自动序列复杂组合性质的验证，例如无平方子词的存在性或特定子词的存在性。
• 该系统支持通过用户自定义自动机文件定义新的数系（例如 msd、lsd）和自动词（例如 Thue-Morse、paperfolding）。
• 集成 Valmari 的最小化算法显著减少了自动机构造的规模，提升了性能和可扩展性。
• `eval` 和 `def` 等命令允许用户测试和定义自动词上的逻辑谓词，结果以布尔自动机形式返回。
• 系统支持通过 Graphviz 将自动机构造描述转换为可视化格式，提升可解释性和调试能力。
• 用户自定义自动机可通过 `load` 命令加载，支持可重现且模块化的定理证明工作流。