[论文解读] Automating Boundary Filling in Cubical Agda

Dimitri Ara, Albert Burroni+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2023

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 2

一句话总结

本专著将多图（polygraphs）发展为严格高阶范畴中高维重写理论的统一框架，将字符串重写推广至高维。它在严格高阶范畴上建立了folk模型结构，证明了多图是上纤维对象，并应用这些工具计算代数结构的相干性与同调不变量。

ABSTRACT

Homotopy type theory is a logical setting based on Martin-Löf type theory in which one can perform geometric constructions and proofs in a synthetic way. Namely, types can be interpreted as spaces (up to continuous deformation) and proofs as homotopy invariant constructions. In this context, loop spaces of pointed connected groupoids provide a natural representation of groups, and any group can be obtained as the loop space of such a type, which is then called a delooping of the group. There are two main methods to construct the delooping of an arbitrary group G. The first one consists in describing it as a pointed higher inductive type, whereas the second one consists in taking the connected component of the principal G-torsor in the type of sets equipped with an action of G. We show here that, when a presentation is known for the group, simpler variants of those constructions can be used to build deloopings. The resulting types are more amenable to computations and lead to simpler meta-theoretic reasoning. We also investigate, in this context, an abstract construction for the Cayley graph of a generated group and show that it encodes the relations of the group. Most of the developments performed in the article have been formalized using the cubical version of the Agda proof assistant.

研究动机与目标

• 使用多图作为统一框架，发展重写理论的高维推广。
• 为严格高阶范畴中的相干性建立同调代数基础。
• 证明多图在严格高阶范畴上的folk模型结构中是上纤维对象。
• 应用这些工具计算代数结构的相干性与同调不变量。
• 为单幕范畴与2-范畴中的相干性结果提供算法与计算方法。

提出的方法

• 使用n-多图作为严格n-范畴的呈现，推广有向图与字符串重写。
• 应用同调代数在严格高阶范畴范畴上定义folk模型结构。
• 通过多图的上纤维性，构造多图解析作为上纤维替换。
• 通过收敛多图系统与Tietze变换引入一致呈现的概念。
• 将理论应用于具体代数结构，如幺半群、辫群与弗罗贝尼乌斯代数。
• 使用同调代数将关系之间的恒等式与syzygy模及有限推导类型联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用多图将重写理论推广至高维？
• RQ2 多图在严格高阶范畴的同伦理论中扮演什么角色？
• RQ3 如何从收敛多图系统推导代数结构的相干性定理？
• RQ4 有限推导类型与高阶范畴中同调有限性质之间的关系是什么？
• RQ5 分配律与项重写系统如何推广至3-多图及更高维？

主要发现

• 证明了多图是严格高阶范畴上的folk模型结构中的上纤维对象。
• 构建了Cat𝜔上的folk模型结构，其纤维对象由提升性质表征。
• 通过收敛3-多图与一致完成过程，表征了2-范畴的一致呈现。
• 该理论建立了幺半群与范畴中关系之间的恒等式与同调syzygy之间的联系。
• 证明了多图解析可计算高阶范畴的阿贝尔化，并与同调有限性质相关联。
• 本专著提供了计算阿rtin幺半群、plactic幺半群与双代数等结构中相干性与同调不变量的算法方法。