[论文解读] Automorphic Forms, Cohomology and CAP Representations. The Case $GL_2$ over a definite quaternion algebra

Harald Grobner|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文通過全局朗蘭茲對應的函子性，完全描述了在 $\mathbb{Q}$ 上的定值四元數代數上 $GL_2$ 的尖點與艾森斯坦上同調，並證明了儘管 $GL_2$ 滿足強乘法性定理，其在度數 1 和 4 處仍存在上同調的 CAP-表示。本文確立了所有度數上同調的非零性，並提供了關於相互作用算子的非零結果，以支持臨界 $L$-值的有理性。

ABSTRACT

In this paper we fully describe the cuspidal and the Eisenstein cohomology of the group $G=GL_2$ over a definite quaternion algebra $D/\Q$. Functoriality is used to show the existence of residual and cuspidal automorphic forms, having cohomology in degree 1. The latter ones turn out to be CAP-representations, though $G$ satisfies Strong Multiplicity One. A non-vanishing result on intertwining operators of induced representations will serve as a starting point for further investigations concerning rationality of critical $L$-values.

研究动机与目标

• 完整描述 $GL_2$ 在定值四元數代數 $D/\mathbb{Q}$ 上的尖點與艾森斯坦上同調。
• 在 $GL_2$ 滿足強乘法性定理的情況下，確立殘留與尖點自守形式在度數 1 處存在上同調的性質。
• 利用扭曲的亞瑟跡公式與函子性，證明上同調在度數 2 和 3 處的非零性。
• 提供關於相互作用算子的非零結果，作為臨界 $L$-值有理性結果的基礎。

提出的方法

• 使用從 $GL_2(D)$ 到 $GL_4(\mathbb{A})$ 的全局朗蘭茲對應，構造具有上同調的殘留與尖點自守表示。
• 應用朗蘭茲-夏希迪方法，並透過格爾巴克的工作對相互作用算子進行歸一化，即使在非一般分裂位置也適用。
• 使用精心選擇的測試函數，對扭曲的亞瑟跡公式進行應用，以檢測度數 2 和 3 處尖點上同調的非零性。
• 利用譜跡與簡單跡公式確保幾何側的正性，從而推導出具有指定無限遠特徵標的尖點表示的存在性。
• 透過 [15] 和 [13] 的結果，將全域相互作用算子的歸一化簡化為分裂位置的局部分量。
• 基於相互作用算子的極點，對李子群 $D^* \times D^*$ 的尖點自守表示進行分類，以產生殘留艾森斯坦級數。

实验结果

研究问题

• RQ1 在定值四元數代數上，$GL_2$ 的尖點與艾森斯坦上同調的完整結構為何？
• RQ2 儘管該群滿足強乘法性定理，$GL_2$ 在定值四元數代數上是否仍可能存在上同調 CAP-表示？
• RQ3 在何種條件下，度數 1 的非平凡殘留艾森斯坦上同調會出現？
• RQ4 如何利用跡公式技術證明度數 2 和 3 處尖點上同調的非零性？
• RQ5 相互作用算子在這些上同調類的臨界 $L$-值有理性中扮演何種角色？

主要发现

• 在定值四元數代數上，$GL_2$ 的艾森斯坦上同調被完全描述，其在度數 1 處非零，當且僅當存在殘留自守表示。
• 尖點上同調類在度數 1 和 4 處存在，由非溫和的無限遠成分表示，且儘管滿足強乘法性定理，仍被證明為 CAP-表示。
• 對於所有自對偶、不可約、有限維複表示 $E$，其在 $G(\mathbb{R})$ 上的最高權 $\lambda \neq k\omega_2$，$k \geq 0$，度數 2 和 3 的尖點上同調非零，此結果透過扭曲的亞瑟跡公式獲得。
• 透過全局朗蘭茲對應，證明了度數 1 處殘留自守表示的存在性，並明確從 $GL_4$ 構造出這些表示。
• 建立了關於相互作用算子的非零結果，為未來關於臨界 $L$-值有理性的研究奠定基礎。
• 尖點上同調類以對稱方式成對分布 $(q, 5-q)$，其中度數 1 和 4 對應非溫和的無限遠成分，度數 2 和 3 對應溫和的成分。