[论文解读] Automorphism group of a toric variety

M. T Sancho, J. P. Moreno+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文完全确定了代数闭域上特征零的完备toric概形的自同构群。它表明，恒同连通分支 $\mathrm{Aut}_k^0X$ 是一个单连通根（由除子类索引的加法群的积）与一般线性群积的约化商的半直积，且给出了明确的作用规则。有限商 $\mathrm{Aut}_kX / \mathrm{Aut}_k^0X$ 同构于保持扇形的格点自同构群，模去各射线线性等价类上的对称群。

ABSTRACT

We calculate the automorphism group of a complete toric variety $X$ with torus $T_M$. We prove that the radical unipotent of $Aut_k^0X$ is a semidirect product of additive groups, the reductive part is a quotient of a product of lineal groups and we give the action of linear groups on the additive groups. We also prove that $Aut_kX/Aut_k^0X$ is a quotient of the group of automorphisms of $M$ leaving invariant the fan.

研究动机与目标

• 完全确定具有给定torus作用的完备toric概形的自同构群。
• 将恒同连通分支 $\mathrm{Aut}_k^0X$ 分解为单连通根与约化子群的半直积。
• 通过不可约表示描述约化子群在单连通根上的作用。
• 将有限商 $\mathrm{Aut}_kX / \mathrm{Aut}_k^0X$ 表征为保持扇形的格点自同构群的商。

提出的方法

• 将 $\mathrm{Aut}_k^0X$ 识别为Cox环的分次自同构群的商。
• 通过扇形中射线的线性等价类 $F$ 索引的加法群 $V_F$ 的半直积构造单连通根。
• 定义作用于每个 $V_F$ 的约化子群 $\mathrm{GL}_F$，其作用通过根系编码。
• 利用射线线性等价类集合 $W$ 上的偏序关系，定义单连通根的半直积结构。
• 证明 $\mathrm{Aut}_k^0X$ 的约化部分是 $\prod_F \mathrm{GL}_F$ 的商，且 $\mathrm{GL}_F$ 在 $V_F$ 上的作用由不可约表示给出。
• 证明有限群 $\mathrm{Aut}_kX / \mathrm{Aut}_k^0X$ 同构于 $\mathrm{Aut}_\Delta M / (S_1 \times \cdots \times S_k)$，其中 $\mathrm{Aut}_\Delta M$ 是保持扇形的格点自同构群，$S_i$ 是每个线性等价类上的对称群。

实验结果

研究问题

• RQ1 完备toric概形的自同构群的恒同连通分支 $\mathrm{Aut}_k^0X$ 的结构是什么？
• RQ2 单连通根如何从扇形的射线与除子类构造？
• RQ3 约化子群在单连通根上的作用是什么？它如何作为表示实现？
• RQ4 有限商 $\mathrm{Aut}_kX / \mathrm{Aut}_k^0X$ 如何与保持扇形的格点 $M$ 的自同构相关联？
• RQ5 对称群 $S_i$ 在完整自同构群结构中起什么作用？

主要发现

• 单连通根 $\mathrm{Aut}_k^0X$ 同构于加法群 $V_F$ 的半直积，其中 $F$ 为射线的线性等价类，且在集合 $W$ 上的偏序下有序。
• 约化部分 $\mathrm{Aut}_k^0X$ 同构于 $\prod_F \mathrm{GL}_F$ 的商，其中 $\mathrm{GL}_F$ 作用于对应的 $V_F$。
• $\mathrm{GL}_F$ 在 $V_F$ 上的作用由与类 $F$ 相关的根系明确确定的不可约表示给出。
• 群 $\mathrm{Aut}_kX / \mathrm{Aut}_k^0X$ 同构于 $\mathrm{Aut}_\Delta M / (S_1 \times \cdots \times S_k)$，其中 $\mathrm{Aut}_\Delta M$ 是保持扇形的格点自同构群。
• 每个线性等价类 $F_i$ 上的对称群 $S_i$ 通过Cox环中对应变量的置换，在 $\mathrm{Aut}_k^0X$ 中实现为子群。
• 自同构群 $\mathrm{Aut}_kX$ 完全由扇形和格点 $M$ 决定，其有限部分源于扇形的组合对称性。