[论文解读] Automorphism Groups and Invariant Theory on PN

João Alberto de Faria, Benjamin Hutz|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文在不变量理论的计算方法基础上，研究了射影空间 $\mathbb{P}^N$ 上自同态的自同构群，将 Faber-Manes-Viray 算法从 $\mathbb{P}^1$ 扩展至 $\mathbb{P}^2$。证明了 $\mathrm{PGL}_{N+1}$ 的每个有限子群均无限多次作为自同构群的子群出现，并给出了基于次数的自同构群大小的显式上界，从而实现了通过定点分析进行自同构群的算法确定。

ABSTRACT

Let $K$ be a field and $f:\mathbb{P}^N o \mathbb{P}^N$ a morphism. There is a natural conjugation action on the space of such morphisms by elements of the projective linear group $ ext{PGL}_{N+1}$. The group of automorphisms, or stabilizer group, of a given $f$ for this action is known to be a finite group. In this article, we address two mainly computational problems concerning automorphism groups. Given a finite subgroup of $ ext{PGL}_{N+1}$ determine endomorphisms of $\mathbb{P}^N$ with that group as subgroup of its automorphism group. In particular, we show that every finite subgroup occurs infinitely often and discuss some associated rationality problems. Inversely, given an endomorphism determine its automorphism group. In particular, we extended the Faber-Manes-Viray fixed-point algorithm for $\mathbb{P}^1$ to endomorphisms of $\mathbb{P}^2$. A key component is an explicit bound on the size of the automorphism group depending on the degree of the endomorphism.

研究动机与目标

• 解决在 $\mathbb{P}^N$ 上构造自同态的逆问题，使得给定的 $\mathrm{PGL}_{N+1}$ 的有限子群成为其自同构群的子群。
• 将 Faber-Manes-Viray 的定点算法从 $\mathbb{P}^1$ 扩展至 $\mathbb{P}^2$，以计算自同态的自同构群。
• 建立自同态自同构群大小的显式上界，该上界仅依赖于自同态的次数。
• 研究动力系统中定义域与模域之间的有理性与模形式问题。

提出的方法

• 使用经典不变量理论构造自同构群包含给定 $\mathrm{PGL}_{N+1}$ 有限子群的自同态。
• 通过 $\mathrm{PGL}_{N+1}$ 对自同态的作用定义模空间 $M_d^N$，并稳定自同构群。
• 在 Sage 中实现定点算法，以计算有理周期点，并检验候选自同构下的共轭不变性。
• 当直接计算不可行时，利用模素数约化来验证周期点（如 3-周期点）的缺失。
• 利用非平凡自同构与非平凡有理扭之间等价性，分析模域相关问题。
• 利用计算代数系统（如 Magma、Sage）通过齐次多项式上的矩阵共轭检验验证自同构群成员资格。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $\mathrm{PGL}_{N+1}$ 的有限子群是否都能作为 $\mathbb{P}^N$ 上某个自同态的自同构群的子群实现？
• RQ2 如何算法化地确定 $\mathbb{P}^2$ 上自同态的自同构群，从而推广 $\mathbb{P}^1$ 的情形？
• RQ3 在 $\mathbb{P}^N$ 上，自同态次数为 $d$ 时，其自同构群大小的显式上界是什么？
• RQ4 有理周期点及其在有限域上的循环如何帮助验证数域中某些周期轨道的缺失？
• RQ5 对于具有非平凡自同构的自同态，其模域与定义域之间存在何种关系？

主要发现

• 每个 $\mathrm{PGL}_{N+1}$ 的有限子群均无限多次作为 $\mathbb{P}^N$ 上某个自同态的自同构群的子群出现。
• 建立了 $\mathbb{P}^N$ 上自同态自同构群大小的显式上界，该上界仅依赖于自同态的次数。
• Faber-Manes-Viray 的定点算法成功扩展至 $\mathbb{P}^2$，运行时间示例表明其对次数为 3 和 4 的自同态具有可行性。
• 对于自同构群平凡的自同态，算法在 2.5 秒内完成；而对于具有非平凡对称性的自同态（如正八面体群、正四面体群），耗时最多达 54 秒。
• 通过模素数约化验证了在所需数域中不存在 3-周期点，从而完成了原本计算不可行的验证。
• 计算上构造并验证了自同构群同构于正八面体群（阶 24）、正四面体群（阶 12）及二面体群（阶 6）的显式自同态。