[论文解读] Automorphism groups of edge-transitive maps

Gareth A. Jones|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 41被引用 5

一句话总结

本文分类了哪些有限群——特别是对称群、交错群和射影线性群——可以作为格拉弗与沃特克斯所定义的14种类别的边传递地图的自同构群出现。通过代数与拓扑方法，本文在每一类别中建立了群实现的充要条件，表明除有限多个外，几乎所有对称群与交错群均可在大多数类别中实现；此外，所有足够大的幂零群或可解群，以及不可数多个无限群，也均可实现。

ABSTRACT

For each of the 14 classes of edge-transitive maps described by Graver and Watkins, necessary and sufficient conditions are given for a group to be the automorphism group of a map, or of an orientable map without boundary, in that class. Extending earlier results of Siran, Tucker and Watkins, these are used to determine which symmetric groups $S_n$ can arise in this way for each class. Similar results are obtained for all finite simple groups, building on work of Leemans and Liebeck, Nuzhin and others on generating sets for such groups. It is also shown that each edge-transitive class realises finite groups of every sufficiently large nilpotence class or derived length, and also realises uncountably many non-isomorphic infinite groups. Edge-transitive embeddings of complete graphs are classified, and there is a detailed discussion of edge-transitive maps with boundary.

研究动机与目标

• 确定在14种类别的边传递地图中，有限群作为该类别地图自同构群的充要条件。
• 通过完全刻画每个类别中哪些对称群 $S_n$ 可实现，扩展Širáň、Tucker与Watkins的先前结果，类似地分析交错群 $A_n$ 与 $L_2(q)$ 的实现性。
• 研究有限单群的实现性，基于Leemans、Liebeck与Nuzhin的工作，证明所有足够大的幂零群或可解群在每个类别中均可实现。
• 证明每个边传递类别均可实现不可数多个非同构的无限群，并建立此类群的嵌入与增长性质。

提出的方法

• 利用格拉弗与沃特克斯基于商图 $\mathcal{M}/\mathrm{Aut}\,\mathcal{M}$ 的同构类型的14种类别分类法。
• 应用地图理论中的代数技术，包括单缘群与自同构群在旗上的作用生成元 $r_i$、$s_i$。
• 使用中位图构造 $\mathcal{M}^{\rm med}$ 来关联原图与导出图的自同构群，尤其在非正则情形下。
• 应用有限单群生成集的群论结果（如Leemans、Liebeck、Nuzhin的研究）以确定实现条件。
• 利用欧拉示性数 $\chi$ 与可定向性判别式等拓扑不变量分析实现性并分类地图。
• 应用覆盖理论与嵌入定理，证明每个类别中均可实现不可数多个非同构的无限群。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于14种类别的边传递地图，哪些有限群可作为该类别地图的自同构群？
• RQ2 在每个类别中，哪些对称群 $S_n$、交错群 $A_n$ 与射影特殊线性群 $L_2(q)$ 可实现为自同构群？
• RQ3 哪些有限单群可实现为边传递地图的自同构群，且在何种条件下？
• RQ4 所有足够大的幂零群或可解群是否均可在每个边传递类别中实现？
• RQ5 14种类别是否均可实现不可数多个非同构的无限群？其拓扑与增长性质如何？

主要发现

• 对14种类别中的每一类，均建立了群作为该类别地图自同构群的充要条件。
• 除类别 $2^{\rm ex}$、$2^{*}{\rm ex}$、$5$ 与 $5^*$ 外，所有除有限多个外的对称群 $S_n$ 均可实现，其中要求 $n \geq 6$。
• 除类别 $2^{\rm ex}$、$2^{*}{\rm ex}$、$5$ 与 $5^*$ 外，所有除有限多个外的交错群 $A_n$ 均可实现，其中要求 $n \geq 8$。
• 当 $q \neq 3,7,9$ 时，$L_2(q)$ 可在类别 $1$ 中实现；当 $q \neq 3$ 时，可在类别 $2$ 中实现；当 $q \neq 3$ 时，可在类别 $3$ 中实现；但在类别 $2^{\rm ex}$、$2^{*}{\rm ex}$、$5$ 与 $5^*$ 中不可实现。
• 每个边传递类别中均可实现所有足够大幂指数类或导出列长度的有限群。
• 每个边传递类别均可实现不可数多个非同构的无限群，并建立了具有可控增长的此类群的嵌入定理。