[论文解读] Automorphism Groups of Geometrically Represented Graphs

Pavel Klavík, Peter Zeman|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 42被引用 11

一句话总结

本文提出一个统一框架，利用群论结构和 PQ 树、分裂树等数据结构，表征几何表示图的自同构群。证明了区间图的自同构群与树相同，并利用半直积和缠绕积对排列图和圆图的自同构群进行归纳表征，同时表明每个有限群均可作为维度至多为四的可比图的自同构群实现。

ABSTRACT

We describe a technique to determine the automorphism group of a geometrically represented graph, by understanding the structure of the induced action on all geometric representations. Using this, we characterize automorphism groups of interval, permutation and circle graphs. We combine techniques from group theory (products, homomorphisms, actions) with data structures from computer science (PQ-trees, split trees, modular trees) that encode all geometric representations. We prove that interval graphs have the same automorphism groups as trees, and for a given interval graph, we construct a tree with the same automorphism group which answers a question of Hanlon [Trans. Amer. Math. Soc 272(2), 1982]. For permutation and circle graphs, we give an inductive characterization by semidirect and wreath products. We also prove that every abstract group can be realized by the automorphism group of a comparability graph/poset of the dimension at most four.

研究动机与目标

• 理解几何表示如何约束图的自同构群。
• 利用代数群结构表征区间图、排列图和圆图的自同构群。
• 解决 Hanlon 提出的一个开放问题：区间图是否与树具有相同的自同构群。
• 证明每个有限抽象群均可作为维度至多为四的可比图的自同构群实现。
• 建立通过 PQ 树、分裂树和模块分解计算自同构群的算法影响。

提出的方法

• 利用自同构在所有几何表示上的诱导作用分析群结构。
• 应用群论工具：直积、半直积和缠绕积，以描述自同构群。
• 采用 PQ 树（用于区间图）、分裂树（用于圆图）和模块分解（用于排列图）等数据结构编码表示。
• 将自同构群的计算归约为在这些结构中检测对称性。
• 利用图同构问题与自同构群生成之间的联系，通过多项式时间归约实现。
• 通过构造传递定向并证明同构性保持，将结果转化为偏序集。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些自同构群来自区间图，它们与树的自同构群有何关系？
• RQ2 如何利用群积归纳表征排列图和圆图的自同构群？
• RQ3 每个有限抽象群是否均可作为维度至多为四的可比图的自同构群实现？
• RQ4 圆弧图的自同构群结构是什么，它与区间图有何不同？
• RQ5 三维偏序集类是否具有普遍性，其图同构问题是否为 GI-完全？

主要发现

• 任何区间图的自同构群同构于某个树的自同构群，回答了 Hanlon 提出的问题。
• 连通单位区间图的自同构群等于其叶状图的自同构群。
• 排列图和圆图的自同构群通过半直积和缠绕积实现归纳表征。
• 每个有限群均可作为维度至多为四的可比图的自同构群实现。
• 四维偏序集的图同构问题为 GI-完全，且该类具有普遍性。
• 通过 PQ 树和模块分解中的对称性检测，隐含了计算区间图和排列图自同构群的线性时间算法。