[论文解读] Automorphism groups of maps, surfaces and Smarandache geometries

Linfan Mao|ArXiv.org|May 16, 2005

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用 9

一句话总结

本专著建立了一个组合框架，将映射、克莱因曲面和萨曼达奇几何的自同构群联系起来，利用电压映射和图嵌入推导出无根映射的计数公式，并对s-流形进行分类。该研究为通过映射理论构造方法扩展经典微分几何与黎曼几何提供了基础性的代数与拓扑方法。

ABSTRACT

A combinatorial map is a connected topological graph cellularly embedded in a surface. This monograph concentrates on the automorphism group of a map, which is related to the automorphism group of a Klein surface and a Smarandache manifold, also applied to the enumeration of unrooted maps on orientable and non-orientable surfaces. A number of results for the enumeration of unrooted maps underlying a graph on orientable and non-orientable surfaces are discovered. An elementary classification for the closed s-manifolds is found. Open problems related the combinatorial maps with the differential geometry, Riemann geometry and Smarandache geometries are also presented in this monograph for the further application of the combinatorial maps to the classical mathematics.

研究动机与目标

• 开发一个统一的组合理论，将映射、克莱因曲面和萨曼达奇流形的自同构群联系起来。
• 通过图嵌入和自同构群，提供一种系统方法，用于计算可定向与不可定向曲面上无根映射的数目。
• 通过组合映射对闭s-流形进行分类，并探讨其结构与几何性质。
• 通过提出未来可推广的开放问题，将组合映射理论与经典微分几何和黎曼几何相连接。
• 建立基础工具——如半弧自同构群和根映射计数方案——以促进拓扑图论与几何结构的进一步研究。

提出的方法

• 使用电压映射和覆叠理论，代数定义映射和克莱因曲面的自同构群。
• 应用图的半弧自同构群作为关键工具，枚举嵌入在曲面上的给定图所对应的映射。
• 引入根总映射和嵌入多项式，以计算给定亏格曲面上的根映射数量。
• 利用群作为映射自同构群作用的组合条件，对赫尔维茨定理中的群作用进行细化。
• 运用亏格和欧拉示性数公式对映射和曲面进行分类，区分可定向与不可定向情形。
• 通过边界嵌入映射和双解析过渡函数，应用映射理论构造方法对s-流形和克莱因曲面进行建模。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将映射的自同构群与克莱因曲面及s-流形的自同构群联系起来？
• RQ2 s-流形的组合结构是什么？如何通过带边界的曲面上的映射对它们进行分类？
• RQ3 能否利用组合映射理论重构高斯-博内定理和黎曼-罗赫定理？
• RQ4 高斯映射的组合意义是什么？如何在映射上定义曲率？
• RQ5 能否通过组合映射和电压覆叠系统地重建或推广黎曼流形理论？

主要发现

• 利用映射理论方法，建立了闭s-流形的初等分类。
• 通过半弧自同构群和嵌入多项式，推导出无根映射计数的方案。
• 通过根总映射多项式，计算出在亏格为g的曲面上，由给定图所支撑的根映射数量。
• 发现了确定有限群何时可作为映射自同构群作用的组合条件。
• 对克莱因曲面和映射上自同构的最大与最小可能阶数进行了刻画，包括对无不动点自同构的界限分析。
• 本文提出了高斯-博内定理的组合推广，并为映射提出了非欧几里得面积定义，为重建经典微分几何结果提供了可能路径。