[论文解读] Automorphism groups of Witt algebras

Jianzhi Han, Yucai Su|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过利用雅可比元组——具有非零常数雅可比行列式的一组多项式——刻画 $W_n$ 的非零自同态，建立了多项式代数 $A_n$ 与威特代数 $W_n$ 的自同构群之间的同构关系。关键结果是 ${\rm Aut}\,W_2 \cong {\rm Aut}\,A_2$，该群被完全确定为由置换、缩放和三角自同构生成的群，从而显式解决了威特代数 $W_2$ 的自同构群问题。

ABSTRACT

The automorphism groups ${ m Aut\,}A_n$ and ${ m Aut\,}W_n$ of the polynomial algebra $A_n=C[x_1,x_2,\cdots, x_n]$ and the rank $n$ Witt algebra $W_n={ m Der\,}A_n$ are studied in this paper. It is well-known that ${ m Aut\,}A_n$ for $n\ge3$ and ${ m Aut\,}W_n$ for $n\ge2$ are open. In the present paper, by characterizing the semigroup ${ m End\,}W_n\setminus\{0\}$ of nonzero endomorphisms of $W_n$ via the semigroup of the so-called Jacobi tuples, we establish an isomorphism between ${ m Aut}\,A_n$ and ${ m Aut\,}W_n$ for any positive integer $n$. In particular, this enables us to work out the automorphism group ${ m Aut\,}W_2$ of $W_2$.

研究动机与目标

• 确定无限维李代数中长期悬而未决的开放问题：威特代数 $W_n = {\rm Der}\,A_n$ 的自同构群 ${\rm Aut}\,W_n$。
• 通过 $W_n$ 的自同态，建立多项式代数 $A_n$ 与威特代数 $W_n$ 的自同构群之间的结构联系。
• 通过证明 ${\rm Aut}\,W_2 \cong {\rm Aut}\,A_2$，完全解决 $n=2$ 的情形，该群被显式描述。
• 证明雅可比猜想（即常数雅可比行列式蕴含多项式自同构）等价于威特代数猜想（即 $W_n$ 的每个非零自同态都是自同构）。

提出的方法

• 作者将 $W_n$ 嵌入到有理函数域 $\bar{A}_n = \mathbb{C}(x_1,\dots,x_n)$ 的导子代数 $\bar{W}_n = {\rm Der}\,\bar{A}_n$ 中，从而为自同态提供了几何解释。
• 通过代入复合运算 $f \cdot g = (g_1(f), \dots, g_n(f))$，在雅可比元组集合 ${\rm JT}_n$（即满足 $J(f_1,\dots,f_n) \in \mathbb{C}^\times$ 的 $n$ 元组 $(f_1,\dots,f_n) \in A_n^n$）上定义了一个半群结构。
• 通过每个 $\tau \in {\rm Aut}\,A_n$ 诱导的导子作用，构造一个映射 $\zeta: {\rm Aut}\,A_n \to {\rm End}\,W_n \setminus \{0\}$，将每个自同构 $\tau$ 唯一对应到一个自同态 $\sigma_{f_\tau} \in {\rm End}\,W_n$。
• 证明 $\zeta$ 是从 ${\rm Aut}\,A_n$ 到 ${\rm Aut}\,W_n$ 的良好定义的同构，利用雅可比矩阵的逆矩阵来定义对偶导子基。
• 证明每个 $W_n$ 的非零自同态都对应一个雅可比元组，并在雅可比猜想成立的条件下，此类自同态必为自同构，从而证明威特代数猜想蕴含雅可比猜想。
• 对于 $n=2$，利用已知的 ${\rm Aut}\,A_2$ 结构（由置换、缩放和三角自同构生成），通过同构关系完全确定了 ${\rm Aut}\,W_2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $n \geq 1$，${\rm Aut}\,A_n$ 与 ${\rm Aut}\,W_n$ 之间是否存在结构同构？
• RQ2 在一般情形困难的情况下，$W_2$ 的自同构群是否可以被完全确定？
• RQ3 雅可比猜想（即常数雅可比行列式蕴含多项式自同构）是否蕴含威特代数猜想（即 $W_n$ 的每个非零自同态都是自同构）？
• RQ4 是否能用雅可比元组参数化 $W_n$ 的非零自同态半群，且该参数化是否能与 ${\rm Aut}\,A_n$ 构成同构？

主要发现

• 本文为所有 $n \geq 1$ 建立了从 ${\rm Aut}\,A_n$ 到 ${\rm Aut}\,W_n$ 的典范同构 $\zeta$，表明 $A_n$ 与 $W_n$ 的自同构群同构。
• 对于 $n=2$，自同构群 ${\rm Aut}\,W_2$ 被完全确定为由置换 $s_1$、缩放 $\tau_a$（$a \in \mathbb{C}^\times$）以及三角自同构 $\psi_p$（$p \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$）生成的群，与已知的 ${\rm Aut}\,A_2$ 结构一致。
• 作者证明了雅可比猜想与威特代数猜想等价：$W_n$ 的每个非零自同态都是自同构，当且仅当每个雅可比元组都生成 $A_n$。
• 在代入复合运算下，$W_n$ 的非零自同态半群由雅可比元组集合 ${\rm JT}_n$ 参数化，其乘法规则为 $f \cdot g = (g_1(f), \dots, g_n(f))$。
• 由 $\tau \in {\rm Aut}\,A_n$ 诱导的自同态 $\sigma_{f_\tau} \in {\rm End}\,W_n$ 是满射，当且仅当 $\tau$ 的雅可比行列式为非零常数，而该条件在雅可比猜想下自动满足。
• 证明表明 $\sigma_{f_\tau}$ 是满射，因为其像同时包含 $\partial_j$ 和 $x_i^2 \partial_j$（对所有 $i,j$），而这些元素在 $n \geq 2$ 时能生成 $W_n$，从而强制 $\sigma_{f_\tau} = {\rm Aut}\,W_n$。