[论文解读] Automorphism related parameters of a graph associated to a finite vector space

Hira Benish, Imran Javaid+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文研究了有限域上有限维向量空间所关联的非零分量图的自同构相关参数。引入了顶点对的固定邻域概念，并确定了固定数——即破坏所有非平凡自同构的最小顶点集大小。结果表明，当向量空间定义在 𝔽₂ 上时，固定数为 2ⁿ⁻¹；当定义在 𝔽_q 上且 q ≥ 3 时，固定数为 |G(𝕍)| − 1。

ABSTRACT

In this paper, we discuss automorphism related parameters of a graph associated to a finite vector space. The fixing neighborhood of a pair $(u,v)$ of vertices of a graph $G$ is the set of all those vertices $w$ of $G$, such that the orbits of $u$ and $v$ under the action of stabilizer of $w$ are not equal. The fixed number of a graph is the minimum number $k$ such that every subset of vertices of $G$ of cardinality $k$ is a fixing set of $G$. We study some properties of automorphisms of a graph associated to finite vector space and find the fixing neighborhood of pair of vertices of the graph. We also find the fixed number of the graph. It is shown that, for every positive integer $N$, there exists a graph $G$ with $fxd(G)-fix(G)\geq N$, where $fxd(G)$ is the fixed number and $fix(G)$ is the fixing number of $G$.

研究动机与目标

• 分析有限维向量空间的非零分量图的自同构性质。
• 在该图中定义并计算顶点对的固定邻域。
• 确定固定数——即破坏所有非平凡自同构的最小顶点集大小。
• 建立固定数与固定数存在显著差异的条件。
• 探索与向量空间对称性及域特征相关的图的结构性质。

提出的方法

• 以非零向量为顶点构造非零分量图，其中两个向量相邻当且仅当它们在某个基向量上具有非零系数。
• 顶点对 (u,v) 的固定邻域定义为所有满足 w 的稳定子群不保持 u 和 v 在自同构作用下的轨道的顶点 w 的集合。
• 利用 fxd(G) = r + 1 的刻画计算固定数，其中 r 是非固定集的最大大小。
• 对于 𝔽₂，通过基于共享或缺失的基向量 bₗ 和 bₘ 对向量进行分组，构造出大小为 2ⁿ⁻¹ − 1 的非固定集 A。
• 对于 𝔽_q（q ≥ 3），识别出具有相同邻域的顶点对（孪生类），从而得出 fxd(G) = |G| − 1 的结论。
• 结合图自同构理论与向量空间结构的理论结果，证明任何包含所构造非固定集的超集均为固定集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 𝔽₂ 上，有限维向量空间的非零分量图的固定数是多少？
• RQ2 固定数如何与图中自同构的结构相关？
• RQ3 固定数是否可以超过固定数任意多，若可以，其条件是什么？
• RQ4 孪生顶点（具有相同邻域的顶点）在确定固定数时起什么作用？
• RQ5 域的大小（q）如何影响非零分量图的固定数？

主要发现

• 对于在 𝔽₂ 上的有限维向量空间（n ≥ 3），其非零分量图的固定数恰好为 2ⁿ⁻¹。
• 在 𝔽₂ 上的非零分量图中，最大的非固定集大小为 2ⁿ⁻¹ − 1，该结果通过 fxd(G) = r + 1 直接决定了固定数。
• 在 𝔽_q（q ≥ 3）上，固定数为 |G(𝕍)| − 1，原因在于存在具有相同邻域的孪生顶点类。
• 固定数可以超过固定数任意大的数量 N，通过构造满足 fxd(G) − fix(G) ≥ N 的图来证明，其中 N 为任意正整数。
• 顶点对 (u,v) 的固定邻域包含所有满足 w 的稳定子群不保持 u 和 v 的轨道的顶点 w，该概念在证明固定数时至关重要。
• 非零分量图的自同构群将基向量映射为基向量的带符号置换，且该映射保持图结构，与基的选择无关。