[论文解读] Automorphism tower problem and semigroup of endomorphisms for free Burnside groups

Varujan Atabekyan|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文通过证明当奇数 $n \geq 1003$ 且 $m > 1$ 时，$\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 是完备的，从而解决了自由 Burnside 群 $B(m,n)$ 的自同构塔问题，这意味着其中心是平凡的，且所有自同构都是内自同构。关键结果表明，在 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 中，$\mathrm{Inn}(B(m,n))$ 是唯一同构于自由 Burnside 群的正规子群，这意味着自同构塔在第一步终止，类似于绝对自由群的情形。

ABSTRACT

We have proved that the group of all inner automorphisms of the free Burnside group $B(m,n)$ is the unique normal subgroup in $Aut(B(m,n))$ among all its subgroups, which are isomorphic to free Burnside group $B(s,n)$ of some rank $s$ for all odd $n\ge1003$ and $m>1$. It follows that the group of automorphisms $Aut(B(m,n))$ of the free Burnside group $B(m,n)$ is complete for odd $n\ge1003$, that is it has a trivial center and any automorphism of $Aut(B(m,n))$ is inner. Thus, for groups $B(m,n)$ is solved the automorphism tower problem and is showed that it is as short as the automorphism tower of the absolutely free groups. Moreover, proved that every automorphism of $End(B(m,n))$ is a conjugation by an element of $Aut(B(m,n))$.

研究动机与目标

• 解决自由 Burnside 群 $B(m,n)$ 的自同构塔问题，其中指数 $n$ 为奇数且满足 $n \geq 1003$，秩 $m > 1$。
• 证明 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 是完备的，即其中心平凡且所有自同构均为内自同构。
• 证明 $\mathrm{Inn}(B(m,n))$ 是 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 中唯一同构于自由 Burnside 群 $B(s,n)$ 的正规子群。
• 刻画自同态半群 $\mathrm{End}(B(m,n))$ 的自同构群。
• 将关于自同构塔的已知结果从无挠群推广到具有大奇数指数的周期性、相对自由群。

提出的方法

• 利用自由 Burnside 群 $B(m,n)$ 作为自由群对由 $n$ 次幂生成的正规子群的商的结构。
• 利用 Adian 的专著中通过技术手段构造的指数 $n \geq 1003$ 的无限简单周期群，以分析正规子群。
• 应用如下判别准则：若 $\mathrm{Inn}(G)$ 在 $\mathrm{Aut}(G)$ 中是特征子群，则 $\mathrm{Aut}(G)$ 是完备的，并证明 $\mathrm{Inn}(B(m,n))$ 是唯一的此类正规子群。
• 通过证明每个此类自同构均源于 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 中元素的共轭作用，分析 $\mathrm{End}(B(m,n))$ 的自同构。
• 利用关于相对自由群的自同态半群和自同构群的已知结果，特别是将 Formanek 对自由群的工作加以推广。
• 利用 $B(m,n)$ 在奇数 $n \geq 665$ 时中心平凡的事实，并将该结果强化至 $n \geq 1003$，以满足所需的结构性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于指数为奇数且满足 $n \geq 1003$ 的自由 Burnside 群，自同构群 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 是否完备？
• RQ2 自由 Burnside 群 $B(m,n)$ 的自同构塔是否在一步后终止，即 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 是否同构于 $\mathrm{Inn}(B(m,n))$？
• RQ3 $\mathrm{Inn}(B(m,n))$ 是否是 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 中唯一同构于自由 Burnside 群 $B(s,n)$ 的正规子群？
• RQ4 自同态半群 $\mathrm{End}(B(m,n))$ 的自同构与 $B(m,n)$ 的自同构有何关系？
• RQ5 周期性、相对自由群（如 $B(m,n)$）的自同构塔是否可短至与绝对自由群相同？

主要发现

• 对于所有奇数 $n \geq 1003$ 且 $m > 1$，群 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 是完备的，即其中心平凡，且每个自同构均为内自同构。
• $\mathrm{Inn}(B(m,n))$ 是 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 中唯一同构于某个 $s$ 的自由 Burnside 群 $B(s,n)$ 的正规子群。
• $B(m,n)$ 的自同构塔在一步后终止，即 $B(m,n) \lhd \mathrm{Aut}(B(m,n)) = \mathrm{Aut}(\mathrm{Aut}(B(m,n)))$，类似于绝对自由群的情形。
• $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 同构于 $\mathrm{Aut}(B(k,n))$ 当且仅当 $m = k$，从而确立了秩不变性性质。
• 每个自同态半群 $\mathrm{End}(B(m,n))$ 的自同构均由 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 中某个元素的共轭作用诱导，即存在 $\alpha \in \mathrm{Aut}(B(m,n))$ 使得 $S(\beta) = \alpha \circ \beta \circ \alpha^{-1}$。
• 该结果依赖于 Adian 专著中构造的指数 $n \geq 1003$ 的无限简单周期群（具有循环子群），这些群被用于分析 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 的正规子群。